Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20471 / 4277
↖ ↑ ↗
← N 78.791307°
E 44.901123°		 ← 237.47 m → N 78.791307°
E 44.912109°		 →
↑
237.45 m
↓
↑
237.45 m
↓
N 78.789172°
E 44.901123°		 ← 237.51 m →
56 391 m²		 N 78.789172°
E 44.912109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624740600585938 y=0.130538940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624740600585938 × 215)
    floor (0.624740600585938 × 32768)
    floor (20471.5)     		tx = 20471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130538940429688 × 215)
    floor (0.130538940429688 × 32768)
    floor (4277.5)     		ty = 4277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20471 / 4277 ti = "15/20471/4277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20471/4277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20471 ÷ 215
    20471 ÷ 32768     		x = 0.624725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4277 ÷ 215
    4277 ÷ 32768     		y = 0.130523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624725341796875 × 2 - 1) × π
    0.24945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78367243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130523681640625 × 2 - 1) × π
    0.73895263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32148817480008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78367243} λ = 0.78367243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32148817480008))-π/2
    2×atan(10.190828761592)-π/2
    2×1.47298202974276-π/2
    2.94596405948553-1.57079632675     		φ = 1.37516773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78367243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.901123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37516773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.791307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20471 KachelY 4277 0.78367243 1.37516773 44.901123 78.791307
    Oben rechts KachelX + 1 20472 KachelY 4277 0.78386418 1.37516773 44.912109 78.791307
    Unten links KachelX 20471 KachelY + 1 4278 0.78367243 1.37513046 44.901123 78.789172
    Unten rechts KachelX + 1 20472 KachelY + 1 4278 0.78386418 1.37513046 44.912109 78.789172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37516773-1.37513046) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dl = 237.447169999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37516773-1.37513046) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dr = 237.447169999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78367243-0.78386418) × cos(1.37516773) × R
    0.000191750000000046 × 0.194383180060664 × 6371000     		do = 237.466122301982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78367243-0.78386418) × cos(1.37513046) × R
    0.000191750000000046 × 0.194419739025548 × 6371000     		du = 237.510784168423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37516773)-sin(1.37513046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194383180060664-0.194419739025548)×R²
    abs(0.78386418-0.78367243)×3.65589648837761e-05×R²
    0.000191750000000046×3.65589648837761e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.65589648837761e-05×40589641000000     		ar = 56390.9611342978m²