Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20458 / 4074
↖ ↑ ↗
← N 79.216649°
E 44.758301°		 ← 228.55 m → N 79.216649°
E 44.769287°		 →
↑
228.53 m
↓
↑
228.53 m
↓
N 79.214594°
E 44.758301°		 ← 228.59 m →
52 235 m²		 N 79.214594°
E 44.769287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624343872070312 y=0.124343872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624343872070312 × 215)
    floor (0.624343872070312 × 32768)
    floor (20458.5)     		tx = 20458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124343872070312 × 215)
    floor (0.124343872070312 × 32768)
    floor (4074.5)     		ty = 4074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20458 / 4074 ti = "15/20458/4074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20458/4074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20458 ÷ 215
    20458 ÷ 32768     		x = 0.62432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4074 ÷ 215
    4074 ÷ 32768     		y = 0.12432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62432861328125 × 2 - 1) × π
    0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12432861328125 × 2 - 1) × π
    0.7513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36041293729156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78117972} λ = 0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36041293729156))-π/2
    2×atan(10.5953257543357)-π/2
    2×1.47669384049473-π/2
    2.95338768098946-1.57079632675     		φ = 1.38259135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38259135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.216649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20458 KachelY 4074 0.78117972 1.38259135 44.758301 79.216649
    Oben rechts KachelX + 1 20459 KachelY 4074 0.78137146 1.38259135 44.769287 79.216649
    Unten links KachelX 20458 KachelY + 1 4075 0.78117972 1.38255548 44.758301 79.214594
    Unten rechts KachelX + 1 20459 KachelY + 1 4075 0.78137146 1.38255548 44.769287 79.214594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38259135-1.38255548) × R
    3.58700000000489e-05 × 6371000     		dl = 228.527770000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38259135-1.38255548) × R
    3.58700000000489e-05 × 6371000     		dr = 228.527770000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78117972-0.78137146) × cos(1.38259135) × R
    0.000191739999999996 × 0.187095871271742 × 6371000     		do = 228.551739980544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78117972-0.78137146) × cos(1.38255548) × R
    0.000191739999999996 × 0.187131107746678 × 6371000     		du = 228.594783996441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38259135)-sin(1.38255548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187095871271742-0.187131107746678)×R²
    abs(0.78137146-0.78117972)×3.52364749357514e-05×R²
    0.000191739999999996×3.52364749357514e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.52364749357514e-05×40589641000000     		ar = 52235.3378494614m²