Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20457 / 4303
↖ ↑ ↗
← N 78.735646°
E 44.747315°		 ← 238.63 m → N 78.735646°
E 44.758301°		 →
↑
238.59 m
↓
↑
238.59 m
↓
N 78.733501°
E 44.747315°		 ← 238.68 m →
56 941 m²		 N 78.733501°
E 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624313354492188 y=0.131332397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624313354492188 × 215)
    floor (0.624313354492188 × 32768)
    floor (20457.5)     		tx = 20457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131332397460938 × 215)
    floor (0.131332397460938 × 32768)
    floor (4303.5)     		ty = 4303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20457 / 4303 ti = "15/20457/4303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20457/4303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20457 ÷ 215
    20457 ÷ 32768     		x = 0.624298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4303 ÷ 215
    4303 ÷ 32768     		y = 0.131317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624298095703125 × 2 - 1) × π
    0.24859619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78098797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131317138671875 × 2 - 1) × π
    0.73736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31650273723959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78098797} λ = 0.78098797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31650273723959))-π/2
    2×atan(10.1401494553377)-π/2
    2×1.47249630049852-π/2
    2.94499260099705-1.57079632675     		φ = 1.37419627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78098797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37419627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.735646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20457 KachelY 4303 0.78098797 1.37419627 44.747315 78.735646
    Oben rechts KachelX + 1 20458 KachelY 4303 0.78117972 1.37419627 44.758301 78.735646
    Unten links KachelX 20457 KachelY + 1 4304 0.78098797 1.37415882 44.747315 78.733501
    Unten rechts KachelX + 1 20458 KachelY + 1 4304 0.78117972 1.37415882 44.758301 78.733501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37419627-1.37415882) × R
    3.74500000002165e-05 × 6371000     		dl = 238.593950001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37419627-1.37415882) × R
    3.74500000002165e-05 × 6371000     		dr = 238.593950001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78098797-0.78117972) × cos(1.37419627) × R
    0.000191750000000046 × 0.195336018243682 × 6371000     		do = 238.630146825256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78098797-0.78117972) × cos(1.37415882) × R
    0.000191750000000046 × 0.19537274668399 × 6371000     		du = 238.675015729527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37419627)-sin(1.37415882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195336018243682-0.19537274668399)×R²
    abs(0.78117972-0.78098797)×3.67284403078594e-05×R²
    0.000191750000000046×3.67284403078594e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.67284403078594e-05×40589641000000     		ar = 56941.0620517609m²