Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20457 / 4071
↖ ↑ ↗
← N 79.222814°
E 44.747315°		 ← 228.43 m → N 79.222814°
E 44.758301°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
N 79.220760°
E 44.747315°		 ← 228.48 m →
52 194 m²		 N 79.220760°
E 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624313354492188 y=0.124252319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624313354492188 × 215)
    floor (0.624313354492188 × 32768)
    floor (20457.5)     		tx = 20457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124252319335938 × 215)
    floor (0.124252319335938 × 32768)
    floor (4071.5)     		ty = 4071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20457 / 4071 ti = "15/20457/4071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20457/4071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20457 ÷ 215
    20457 ÷ 32768     		x = 0.624298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4071 ÷ 215
    4071 ÷ 32768     		y = 0.124237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624298095703125 × 2 - 1) × π
    0.24859619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78098797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124237060546875 × 2 - 1) × π
    0.75152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36098818008701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78098797} λ = 0.78098797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36098818008701))-π/2
    2×atan(10.6014223924967)-π/2
    2×1.47674763806791-π/2
    2.95349527613582-1.57079632675     		φ = 1.38269895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78098797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38269895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.222814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20457 KachelY 4071 0.78098797 1.38269895 44.747315 79.222814
    Oben rechts KachelX + 1 20458 KachelY 4071 0.78117972 1.38269895 44.758301 79.222814
    Unten links KachelX 20457 KachelY + 1 4072 0.78098797 1.38266309 44.747315 79.220760
    Unten rechts KachelX + 1 20458 KachelY + 1 4072 0.78117972 1.38266309 44.758301 79.220760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38269895-1.38266309) × R
    3.58599999998876e-05 × 6371000     		dl = 228.464059999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38269895-1.38266309) × R
    3.58599999998876e-05 × 6371000     		dr = 228.464059999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78098797-0.78117972) × cos(1.38269895) × R
    0.000191750000000046 × 0.186990170226365 × 6371000     		do = 228.434531312764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78098797-0.78117972) × cos(1.38266309) × R
    0.000191750000000046 × 0.187025397599732 × 6371000     		du = 228.477566454743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38269895)-sin(1.38266309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186990170226365-0.187025397599732)×R²
    abs(0.78117972-0.78098797)×3.52273733663089e-05×R²
    0.000191750000000046×3.52273733663089e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.52273733663089e-05×40589641000000     		ar = 52193.9964655371m²