Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20456 / 4297
↖ ↑ ↗
← N 78.748516°
E 44.736328°		 ← 238.36 m → N 78.748516°
E 44.747315°		 →
↑
238.40 m
↓
↑
238.40 m
↓
N 78.746372°
E 44.736328°		 ← 238.41 m →
56 831 m²		 N 78.746372°
E 44.747315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624282836914062 y=0.131149291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624282836914062 × 215)
    floor (0.624282836914062 × 32768)
    floor (20456.5)     		tx = 20456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131149291992188 × 215)
    floor (0.131149291992188 × 32768)
    floor (4297.5)     		ty = 4297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20456 / 4297 ti = "15/20456/4297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20456/4297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20456 ÷ 215
    20456 ÷ 32768     		x = 0.624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4297 ÷ 215
    4297 ÷ 32768     		y = 0.131134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624267578125 × 2 - 1) × π
    0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131134033203125 × 2 - 1) × π
    0.73773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31765322283047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78079622} λ = 0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31765322283047))-π/2
    2×atan(10.1518222645873)-π/2
    2×1.47260860276386-π/2
    2.94521720552772-1.57079632675     		φ = 1.37442088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37442088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.748516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20456 KachelY 4297 0.78079622 1.37442088 44.736328 78.748516
    Oben rechts KachelX + 1 20457 KachelY 4297 0.78098797 1.37442088 44.747315 78.748516
    Unten links KachelX 20456 KachelY + 1 4298 0.78079622 1.37438346 44.736328 78.746372
    Unten rechts KachelX + 1 20457 KachelY + 1 4298 0.78098797 1.37438346 44.747315 78.746372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37442088-1.37438346) × R
    3.74199999999547e-05 × 6371000     		dl = 238.402819999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37442088-1.37438346) × R
    3.74199999999547e-05 × 6371000     		dr = 238.402819999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78079622-0.78098797) × cos(1.37442088) × R
    0.000191749999999935 × 0.195115730120716 × 6371000     		do = 238.361034207794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78079622-0.78098797) × cos(1.37438346) × R
    0.000191749999999935 × 0.195152430780161 × 6371000     		du = 238.405869173873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37442088)-sin(1.37438346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195115730120716-0.195152430780161)×R²
    abs(0.78098797-0.78079622)×3.67006594450825e-05×R²
    0.000191749999999935×3.67006594450825e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.67006594450825e-05×40589641000000     		ar = 56831.2871315395m²