Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20455 / 4299
↖ ↑ ↗
← N 78.744228°
E 44.725342°		 ← 238.45 m → N 78.744228°
E 44.736328°		 →
↑
238.47 m
↓
↑
238.47 m
↓
N 78.742083°
E 44.725342°		 ← 238.50 m →
56 868 m²		 N 78.742083°
E 44.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624252319335938 y=0.131210327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624252319335938 × 215)
    floor (0.624252319335938 × 32768)
    floor (20455.5)     		tx = 20455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131210327148438 × 215)
    floor (0.131210327148438 × 32768)
    floor (4299.5)     		ty = 4299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20455 / 4299 ti = "15/20455/4299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20455/4299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20455 ÷ 215
    20455 ÷ 32768     		x = 0.624237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4299 ÷ 215
    4299 ÷ 32768     		y = 0.131195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624237060546875 × 2 - 1) × π
    0.24847412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78060447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131195068359375 × 2 - 1) × π
    0.73760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31726972763351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78060447} λ = 0.78060447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31726972763351))-π/2
    2×atan(10.14792983592)-π/2
    2×1.47257118275413-π/2
    2.94514236550826-1.57079632675     		φ = 1.37434604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78060447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.725342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37434604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.744228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20455 KachelY 4299 0.78060447 1.37434604 44.725342 78.744228
    Oben rechts KachelX + 1 20456 KachelY 4299 0.78079622 1.37434604 44.736328 78.744228
    Unten links KachelX 20455 KachelY + 1 4300 0.78060447 1.37430861 44.725342 78.742083
    Unten rechts KachelX + 1 20456 KachelY + 1 4300 0.78079622 1.37430861 44.736328 78.742083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37434604-1.37430861) × R
    3.7430000000116e-05 × 6371000     		dl = 238.466530000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37434604-1.37430861) × R
    3.7430000000116e-05 × 6371000     		dr = 238.466530000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78060447-0.78079622) × cos(1.37434604) × R
    0.000191750000000046 × 0.195189131166343 × 6371000     		do = 238.45070380626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78060447-0.78079622) × cos(1.37430861) × R
    0.000191750000000046 × 0.195225841086793 × 6371000     		du = 238.495550085947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37434604)-sin(1.37430861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195189131166343-0.195225841086793)×R²
    abs(0.78079622-0.78060447)×3.67099204501287e-05×R²
    0.000191750000000046×3.67099204501287e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.67099204501287e-05×40589641000000     		ar = 56867.859088158m²