Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20454 / 4305
↖ ↑ ↗
← N 78.731354°
E 44.714356°		 ← 238.71 m → N 78.731354°
E 44.725342°		 →
↑
238.72 m
↓
↑
238.72 m
↓
N 78.729207°
E 44.714356°		 ← 238.75 m →
56 990 m²		 N 78.729207°
E 44.725342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624221801757812 y=0.131393432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624221801757812 × 215)
    floor (0.624221801757812 × 32768)
    floor (20454.5)     		tx = 20454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131393432617188 × 215)
    floor (0.131393432617188 × 32768)
    floor (4305.5)     		ty = 4305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20454 / 4305 ti = "15/20454/4305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20454/4305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20454 ÷ 215
    20454 ÷ 32768     		x = 0.62420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4305 ÷ 215
    4305 ÷ 32768     		y = 0.131378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62420654296875 × 2 - 1) × π
    0.2484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78041273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131378173828125 × 2 - 1) × π
    0.73724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31611924204263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78041273} λ = 0.78041273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31611924204263))-π/2
    2×atan(10.1362615022784)-π/2
    2×1.47245883824247-π/2
    2.94491767648495-1.57079632675     		φ = 1.37412135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78041273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.714356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37412135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.731354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20454 KachelY 4305 0.78041273 1.37412135 44.714356 78.731354
    Oben rechts KachelX + 1 20455 KachelY 4305 0.78060447 1.37412135 44.725342 78.731354
    Unten links KachelX 20454 KachelY + 1 4306 0.78041273 1.37408388 44.714356 78.729207
    Unten rechts KachelX + 1 20455 KachelY + 1 4306 0.78060447 1.37408388 44.725342 78.729207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37412135-1.37408388) × R
    3.74700000000949e-05 × 6371000     		dl = 238.721370000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37412135-1.37408388) × R
    3.74700000000949e-05 × 6371000     		dr = 238.721370000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78041273-0.78060447) × cos(1.37412135) × R
    0.000191739999999996 × 0.195409494464722 × 6371000     		do = 238.707458721864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78041273-0.78060447) × cos(1.37408388) × R
    0.000191739999999996 × 0.195446241971098 × 6371000     		du = 238.75234857681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37412135)-sin(1.37408388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195409494464722-0.195446241971098)×R²
    abs(0.78060447-0.78041273)×3.67475063766942e-05×R²
    0.000191739999999996×3.67475063766942e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.67475063766942e-05×40589641000000     		ar = 56989.9296661968m²