Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20452 / 4348
↖ ↑ ↗
← N 78.638666°
E 44.692383°		 ← 240.66 m → N 78.638666°
E 44.703369°		 →
↑
240.70 m
↓
↑
240.70 m
↓
N 78.636501°
E 44.692383°		 ← 240.70 m →
57 931 m²		 N 78.636501°
E 44.703369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624160766601562 y=0.132705688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624160766601562 × 215)
    floor (0.624160766601562 × 32768)
    floor (20452.5)     		tx = 20452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132705688476562 × 215)
    floor (0.132705688476562 × 32768)
    floor (4348.5)     		ty = 4348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20452 / 4348 ti = "15/20452/4348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20452/4348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20452 ÷ 215
    20452 ÷ 32768     		x = 0.6241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4348 ÷ 215
    4348 ÷ 32768     		y = 0.1326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6241455078125 × 2 - 1) × π
    0.248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78002923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1326904296875 × 2 - 1) × π
    0.734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30787409530798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78002923} λ = 0.78002923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30787409530798))-π/2
    2×atan(10.0530301377801)-π/2
    2×1.47164998274011-π/2
    2.94329996548023-1.57079632675     		φ = 1.37250364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78002923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.692383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37250364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.638666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20452 KachelY 4348 0.78002923 1.37250364 44.692383 78.638666
    Oben rechts KachelX + 1 20453 KachelY 4348 0.78022098 1.37250364 44.703369 78.638666
    Unten links KachelX 20452 KachelY + 1 4349 0.78002923 1.37246586 44.692383 78.636501
    Unten rechts KachelX + 1 20453 KachelY + 1 4349 0.78022098 1.37246586 44.703369 78.636501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37250364-1.37246586) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dl = 240.696379999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37250364-1.37246586) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dr = 240.696379999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78002923-0.78022098) × cos(1.37250364) × R
    0.000191749999999935 × 0.196995761445373 × 6371000     		do = 240.657754265223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78002923-0.78022098) × cos(1.37246586) × R
    0.000191749999999935 × 0.197032800980743 × 6371000     		du = 240.703003215432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37250364)-sin(1.37246586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196995761445373-0.197032800980743)×R²
    abs(0.78022098-0.78002923)×3.70395353691266e-05×R²
    0.000191749999999935×3.70395353691266e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.70395353691266e-05×40589641000000     		ar = 57930.8959070229m²