Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20452 / 12404
↖ ↑ ↗
← N 81.043750°
W123.826904°		 ← 47.54 m → N 81.043750°
W123.824158°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
N 81.043322°
W123.826904°		 ← 47.54 m →
2 259 m²		 N 81.043322°
W123.824158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156040191650391 y=0.0946388244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156040191650391 × 217)
    floor (0.156040191650391 × 131072)
    floor (20452.5)     		tx = 20452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0946388244628906 × 217)
    floor (0.0946388244628906 × 131072)
    floor (12404.5)     		ty = 12404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20452 / 12404 ti = "17/20452/12404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20452/12404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20452 ÷ 217
    20452 ÷ 131072     		x = 0.156036376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12404 ÷ 217
    12404 ÷ 131072     		y = 0.094635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156036376953125 × 2 - 1) × π
    -0.68792724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.16118718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094635009765625 × 2 - 1) × π
    0.81072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54698335061282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16118718} λ = -2.16118718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54698335061282))-π/2
    2×atan(12.7685274557663)-π/2
    2×1.4926382973841-π/2
    2.9852765947682-1.57079632675     		φ = 1.41448027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16118718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.826904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41448027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.043750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20452 KachelY 12404 -2.16118718 1.41448027 -123.826904 81.043750
    Oben rechts KachelX + 1 20453 KachelY 12404 -2.16113925 1.41448027 -123.824158 81.043750
    Unten links KachelX 20452 KachelY + 1 12405 -2.16118718 1.41447281 -123.826904 81.043322
    Unten rechts KachelX + 1 20453 KachelY + 1 12405 -2.16113925 1.41447281 -123.824158 81.043322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41448027-1.41447281) × R
    7.46000000018121e-06 × 6371000     		dl = 47.5276600011545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41448027-1.41447281) × R
    7.46000000018121e-06 × 6371000     		dr = 47.5276600011545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16118718--2.16113925) × cos(1.41448027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155680244510736 × 6371000     		do = 47.5388354947239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16118718--2.16113925) × cos(1.41447281) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155687613550371 × 6371000     		du = 47.5410857196259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41448027)-sin(1.41447281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155680244510736-0.155687613550371)×R²
    abs(-2.16113925--2.16118718)×7.36903963483027e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.36903963483027e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.36903963483027e-06×40589641000000     		ar = 2259.46308420259m²