Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20451 / 4349
N 78.636501°
E 44.681396°
← 240.70 m → N 78.636501°
E 44.692383°

240.70 m

240.70 m
N 78.634337°
E 44.681396°
← 240.75 m →
57 942 m²
N 78.634337°
E 44.692383°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624130249023438 y=0.132736206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624130249023438 × 215)
    floor (0.624130249023438 × 32768)
    floor (20451.5)
    tx = 20451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132736206054688 × 215)
    floor (0.132736206054688 × 32768)
    floor (4349.5)
    ty = 4349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20451 / 4349 ti = "15/20451/4349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20451/4349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20451 ÷ 215
    20451 ÷ 32768
    x = 0.624114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4349 ÷ 215
    4349 ÷ 32768
    y = 0.132720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.624114990234375 × 2 - 1) × π
    0.24822998046875 × 3.1415926535
    Λ = 0.77983748
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.132720947265625 × 2 - 1) × π
    0.73455810546875 × 3.1415926535
    Φ = 2.3076823477095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77983748} λ = 0.77983748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3076823477095))-π/2
    2×atan(10.0511026781925)-π/2
    2×1.47163109423254-π/2
    2.94326218846508-1.57079632675
    φ = 1.37246586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77983748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.681396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37246586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.636501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20451 KachelY 4349 0.77983748 1.37246586 44.681396 78.636501
    Oben rechts KachelX + 1 20452 KachelY 4349 0.78002923 1.37246586 44.692383 78.636501
    Unten links KachelX 20451 KachelY + 1 4350 0.77983748 1.37242808 44.681396 78.634337
    Unten rechts KachelX + 1 20452 KachelY + 1 4350 0.78002923 1.37242808 44.692383 78.634337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.37246586-1.37242808) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000
    dl = 240.696379999919m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.37246586-1.37242808) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000
    dr = 240.696379999919m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.77983748-0.78002923) × cos(1.37246586) × R
    0.000191750000000046 × 0.197032800980743 × 6371000
    do = 240.703003215571m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.77983748-0.78002923) × cos(1.37242808) × R
    0.000191750000000046 × 0.197069840234881 × 6371000
    du = 240.748251822218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.37246586)-sin(1.37242808))×
    abs(λ12)×abs(0.197032800980743-0.197069840234881)×
    abs(0.78002923-0.77983748)×3.70392541386155e-05×
    0.000191750000000046×3.70392541386155e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.70392541386155e-05×40589641000000
    ar = 57941.7871231266m²