Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20451 / 4307
↖ ↑ ↗
← N 78.727060°
E 44.681396°		 ← 238.81 m → N 78.727060°
E 44.692383°		 →
↑
238.85 m
↓
↑
238.85 m
↓
N 78.724912°
E 44.681396°		 ← 238.85 m →
57 045 m²		 N 78.724912°
E 44.692383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624130249023438 y=0.131454467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624130249023438 × 215)
    floor (0.624130249023438 × 32768)
    floor (20451.5)     		tx = 20451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131454467773438 × 215)
    floor (0.131454467773438 × 32768)
    floor (4307.5)     		ty = 4307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20451 / 4307 ti = "15/20451/4307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20451/4307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20451 ÷ 215
    20451 ÷ 32768     		x = 0.624114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4307 ÷ 215
    4307 ÷ 32768     		y = 0.131439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624114990234375 × 2 - 1) × π
    0.24822998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77983748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131439208984375 × 2 - 1) × π
    0.73712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31573574684567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77983748} λ = 0.77983748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31573574684567))-π/2
    2×atan(10.1323750399446)-π/2
    2×1.47242136189414-π/2
    2.94484272378829-1.57079632675     		φ = 1.37404640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77983748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.681396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37404640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.727060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20451 KachelY 4307 0.77983748 1.37404640 44.681396 78.727060
    Oben rechts KachelX + 1 20452 KachelY 4307 0.78002923 1.37404640 44.692383 78.727060
    Unten links KachelX 20451 KachelY + 1 4308 0.77983748 1.37400891 44.681396 78.724912
    Unten rechts KachelX + 1 20452 KachelY + 1 4308 0.78002923 1.37400891 44.692383 78.724912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37404640-1.37400891) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dl = 238.84878999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37404640-1.37400891) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dr = 238.84878999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77983748-0.78002923) × cos(1.37404640) × R
    0.000191750000000046 × 0.195482999010139 × 6371000     		do = 238.809704298555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77983748-0.78002923) × cos(1.37400891) × R
    0.000191750000000046 × 0.195519765581573 × 6371000     		du = 238.854619785306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37404640)-sin(1.37400891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195482999010139-0.195519765581573)×R²
    abs(0.78002923-0.77983748)×3.67665714335608e-05×R²
    0.000191750000000046×3.67665714335608e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.67665714335608e-05×40589641000000     		ar = 57044.7729234495m²