Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20451 / 28571
↖ ↑ ↗
← N 70.704490°
W123.829651°		 ← 100.93 m → N 70.704490°
W123.826904°		 →
↑
100.92 m
↓
↑
100.92 m
↓
N 70.703582°
W123.829651°		 ← 100.93 m →
10 185 m²		 N 70.703582°
W123.826904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156032562255859 y=0.217983245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156032562255859 × 217)
    floor (0.156032562255859 × 131072)
    floor (20451.5)     		tx = 20451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217983245849609 × 217)
    floor (0.217983245849609 × 131072)
    floor (28571.5)     		ty = 28571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20451 / 28571 ti = "17/20451/28571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20451/28571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20451 ÷ 217
    20451 ÷ 131072     		x = 0.156028747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28571 ÷ 217
    28571 ÷ 131072     		y = 0.217979431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156028747558594 × 2 - 1) × π
    -0.687942504882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.16123512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217979431152344 × 2 - 1) × π
    0.564041137695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.77198749445538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16123512} λ = -2.16123512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77198749445538))-π/2
    2×atan(5.88253325290173)-π/2
    2×1.40241123413723-π/2
    2.80482246827446-1.57079632675     		φ = 1.23402614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16123512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.829651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23402614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.704490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20451 KachelY 28571 -2.16123512 1.23402614 -123.829651 70.704490
    Oben rechts KachelX + 1 20452 KachelY 28571 -2.16118718 1.23402614 -123.826904 70.704490
    Unten links KachelX 20451 KachelY + 1 28572 -2.16123512 1.23401030 -123.829651 70.703582
    Unten rechts KachelX + 1 20452 KachelY + 1 28572 -2.16118718 1.23401030 -123.826904 70.703582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23402614-1.23401030) × R
    1.58400000001002e-05 × 6371000     		dl = 100.916640000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23402614-1.23401030) × R
    1.58400000001002e-05 × 6371000     		dr = 100.916640000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16123512--2.16118718) × cos(1.23402614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330440436550836 × 6371000     		do = 100.925014859396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16123512--2.16118718) × cos(1.23401030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330455386726644 × 6371000     		du = 100.929581027905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23402614)-sin(1.23401030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330440436550836-0.330455386726644)×R²
    abs(-2.16118718--2.16123512)×1.49501758077708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49501758077708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49501758077708e-05×40589641000000     		ar = 10185.2437930244m²