Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20449 / 4350
↖ ↑ ↗
← N 78.634337°
E 44.659424°		 ← 240.75 m → N 78.634337°
E 44.670410°		 →
↑
240.76 m
↓
↑
240.76 m
↓
N 78.632171°
E 44.659424°		 ← 240.79 m →
57 968 m²		 N 78.632171°
E 44.670410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624069213867188 y=0.132766723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624069213867188 × 215)
    floor (0.624069213867188 × 32768)
    floor (20449.5)     		tx = 20449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132766723632812 × 215)
    floor (0.132766723632812 × 32768)
    floor (4350.5)     		ty = 4350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20449 / 4350 ti = "15/20449/4350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20449/4350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20449 ÷ 215
    20449 ÷ 32768     		x = 0.624053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4350 ÷ 215
    4350 ÷ 32768     		y = 0.13275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624053955078125 × 2 - 1) × π
    0.24810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77945399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13275146484375 × 2 - 1) × π
    0.7344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30749060011102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77945399} λ = 0.77945399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30749060011102))-π/2
    2×atan(10.0491755881552)-π/2
    2×1.4716122021738-π/2
    2.94322440434761-1.57079632675     		φ = 1.37242808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77945399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.659424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37242808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.634337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20449 KachelY 4350 0.77945399 1.37242808 44.659424 78.634337
    Oben rechts KachelX + 1 20450 KachelY 4350 0.77964574 1.37242808 44.670410 78.634337
    Unten links KachelX 20449 KachelY + 1 4351 0.77945399 1.37239029 44.659424 78.632171
    Unten rechts KachelX + 1 20450 KachelY + 1 4351 0.77964574 1.37239029 44.670410 78.632171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37242808-1.37239029) × R
    3.77899999999265e-05 × 6371000     		dl = 240.760089999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37242808-1.37239029) × R
    3.77899999999265e-05 × 6371000     		dr = 240.760089999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77945399-0.77964574) × cos(1.37242808) × R
    0.000191749999999935 × 0.197069840234881 × 6371000     		do = 240.748251822079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77945399-0.77964574) × cos(1.37239029) × R
    0.000191749999999935 × 0.197106889011556 × 6371000     		du = 240.793512061829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37242808)-sin(1.37239029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197069840234881-0.197106889011556)×R²
    abs(0.77964574-0.77945399)×3.70487766752359e-05×R²
    0.000191749999999935×3.70487766752359e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.70487766752359e-05×40589641000000     		ar = 57968.0192132502m²