Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20449 / 28573
↖ ↑ ↗
← N 70.702675°
W123.835144°		 ← 100.91 m → N 70.702675°
W123.832398°		 →
↑
100.92 m
↓
↑
100.92 m
↓
N 70.701767°
W123.835144°		 ← 100.92 m →
10 184 m²		 N 70.701767°
W123.832398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156017303466797 y=0.217998504638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156017303466797 × 217)
    floor (0.156017303466797 × 131072)
    floor (20449.5)     		tx = 20449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217998504638672 × 217)
    floor (0.217998504638672 × 131072)
    floor (28573.5)     		ty = 28573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20449 / 28573 ti = "17/20449/28573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20449/28573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20449 ÷ 217
    20449 ÷ 131072     		x = 0.156013488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28573 ÷ 217
    28573 ÷ 131072     		y = 0.217994689941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156013488769531 × 2 - 1) × π
    -0.687973022460938 × 3.1415926535     		Λ = -2.16133099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217994689941406 × 2 - 1) × π
    0.564010620117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.77189162065614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16133099} λ = -2.16133099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77189162065614))-π/2
    2×atan(5.88196929912424)-π/2
    2×1.40239539313056-π/2
    2.80479078626112-1.57079632675     		φ = 1.23399446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16133099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.835144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23399446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.702675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20449 KachelY 28573 -2.16133099 1.23399446 -123.835144 70.702675
    Oben rechts KachelX + 1 20450 KachelY 28573 -2.16128306 1.23399446 -123.832398 70.702675
    Unten links KachelX 20449 KachelY + 1 28574 -2.16133099 1.23397862 -123.835144 70.701767
    Unten rechts KachelX + 1 20450 KachelY + 1 28574 -2.16128306 1.23397862 -123.832398 70.701767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23399446-1.23397862) × R
    1.58399999998782e-05 × 6371000     		dl = 100.916639999224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23399446-1.23397862) × R
    1.58399999998782e-05 × 6371000     		dr = 100.916639999224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16133099--2.16128306) × cos(1.23399446) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330470336819539 × 6371000     		do = 100.91309290606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16133099--2.16128306) × cos(1.23397862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330485286829516 × 6371000     		du = 100.917658071455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23399446)-sin(1.23397862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330470336819539-0.330485286829516)×R²
    abs(-2.16128306--2.16133099)×1.49500099776434e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49500099776434e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49500099776434e-05×40589641000000     		ar = 10184.040618895m²