Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20448 / 77792
↖ ↑ ↗
← S 31.877558°
W123.837891°		 ← 259.36 m → S 31.877558°
W123.835144°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
S 31.879890°
W123.837891°		 ← 259.35 m →
67 251 m²		 S 31.879890°
W123.835144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156009674072266 y=0.593509674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156009674072266 × 217)
    floor (0.156009674072266 × 131072)
    floor (20448.5)     		tx = 20448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593509674072266 × 217)
    floor (0.593509674072266 × 131072)
    floor (77792.5)     		ty = 77792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20448 / 77792 ti = "17/20448/77792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20448/77792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20448 ÷ 217
    20448 ÷ 131072     		x = 0.156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77792 ÷ 217
    77792 ÷ 131072     		y = 0.593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.68798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16137893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.18701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.587514641743408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16137893} λ = -2.16137893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587514641743408))-π/2
    2×atan(0.555706700089092)-π/2
    2×0.507213994219294-π/2
    1.01442798843859-1.57079632675     		φ = -0.55636834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16137893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.837891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55636834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.877558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20448 KachelY 77792 -2.16137893 -0.55636834 -123.837891 -31.877558
    Oben rechts KachelX + 1 20449 KachelY 77792 -2.16133099 -0.55636834 -123.835144 -31.877558
    Unten links KachelX 20448 KachelY + 1 77793 -2.16137893 -0.55640904 -123.837891 -31.879890
    Unten rechts KachelX + 1 20449 KachelY + 1 77793 -2.16133099 -0.55640904 -123.835144 -31.879890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55636834--0.55640904) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55636834--0.55640904) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16137893--2.16133099) × cos(-0.55636834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849178607242166 × 6371000     		do = 259.361004508938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16137893--2.16133099) × cos(-0.55640904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849157112634441 × 6371000     		du = 259.354439502467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55636834)-sin(-0.55640904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849178607242166-0.849157112634441)×R²
    abs(-2.16133099--2.16137893)×2.14946077253808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14946077253808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14946077253808e-05×40589641000000     		ar = 67251.3795180339m²