Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20444 / 4330
↖ ↑ ↗
← N 78.677557°
E 44.604492°		 ← 239.84 m → N 78.677557°
E 44.615479°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
N 78.675399°
E 44.604492°		 ← 239.89 m →
57 537 m²		 N 78.675399°
E 44.615479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623916625976562 y=0.132156372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623916625976562 × 215)
    floor (0.623916625976562 × 32768)
    floor (20444.5)     		tx = 20444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132156372070312 × 215)
    floor (0.132156372070312 × 32768)
    floor (4330.5)     		ty = 4330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20444 / 4330 ti = "15/20444/4330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20444/4330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20444 ÷ 215
    20444 ÷ 32768     		x = 0.6239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4330 ÷ 215
    4330 ÷ 32768     		y = 0.13214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6239013671875 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13214111328125 × 2 - 1) × π
    0.7357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31132555208063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77849525} λ = 0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31132555208063))-π/2
    2×atan(10.0877876843151)-π/2
    2×1.47198936935773-π/2
    2.94397873871546-1.57079632675     		φ = 1.37318241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37318241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.677557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20444 KachelY 4330 0.77849525 1.37318241 44.604492 78.677557
    Oben rechts KachelX + 1 20445 KachelY 4330 0.77868700 1.37318241 44.615479 78.677557
    Unten links KachelX 20444 KachelY + 1 4331 0.77849525 1.37314476 44.604492 78.675399
    Unten rechts KachelX + 1 20445 KachelY + 1 4331 0.77868700 1.37314476 44.615479 78.675399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37318241-1.37314476) × R
    3.76500000001112e-05 × 6371000     		dl = 239.868150000708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37318241-1.37314476) × R
    3.76500000001112e-05 × 6371000     		dr = 239.868150000708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77849525-0.77868700) × cos(1.37318241) × R
    0.000191750000000046 × 0.196330247061783 × 6371000     		do = 239.844735772929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77849525-0.77868700) × cos(1.37314476) × R
    0.000191750000000046 × 0.196367164171885 × 6371000     		du = 239.889835163626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37318241)-sin(1.37314476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196330247061783-0.196367164171885)×R²
    abs(0.77868700-0.77849525)×3.69171101017307e-05×R²
    0.000191750000000046×3.69171101017307e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.69171101017307e-05×40589641000000     		ar = 57536.5220176808m²