Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20444 / 4284
↖ ↑ ↗
← N 78.776348°
E 44.604492°		 ← 237.78 m → N 78.776348°
E 44.615479°		 →
↑
237.77 m
↓
↑
237.77 m
↓
N 78.774210°
E 44.604492°		 ← 237.82 m →
56 541 m²		 N 78.774210°
E 44.615479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623916625976562 y=0.130752563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623916625976562 × 215)
    floor (0.623916625976562 × 32768)
    floor (20444.5)     		tx = 20444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130752563476562 × 215)
    floor (0.130752563476562 × 32768)
    floor (4284.5)     		ty = 4284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20444 / 4284 ti = "15/20444/4284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20444/4284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20444 ÷ 215
    20444 ÷ 32768     		x = 0.6239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4284 ÷ 215
    4284 ÷ 32768     		y = 0.1307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6239013671875 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1307373046875 × 2 - 1) × π
    0.738525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32014594161072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77849525} λ = 0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32014594161072))-π/2
    2×atan(10.1771594687426)-π/2
    2×1.47285149005071-π/2
    2.94570298010141-1.57079632675     		φ = 1.37490665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37490665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.776348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20444 KachelY 4284 0.77849525 1.37490665 44.604492 78.776348
    Oben rechts KachelX + 1 20445 KachelY 4284 0.77868700 1.37490665 44.615479 78.776348
    Unten links KachelX 20444 KachelY + 1 4285 0.77849525 1.37486933 44.604492 78.774210
    Unten rechts KachelX + 1 20445 KachelY + 1 4285 0.77868700 1.37486933 44.615479 78.774210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37490665-1.37486933) × R
    3.73200000001184e-05 × 6371000     		dl = 237.765720000754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37490665-1.37486933) × R
    3.73200000001184e-05 × 6371000     		dr = 237.765720000754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77849525-0.77868700) × cos(1.37490665) × R
    0.000191750000000046 × 0.194639273508061 × 6371000     		do = 237.77897610899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77849525-0.77868700) × cos(1.37486933) × R
    0.000191750000000046 × 0.194675879623467 × 6371000     		du = 237.823695576359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37490665)-sin(1.37486933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194639273508061-0.194675879623467)×R²
    abs(0.77868700-0.77849525)×3.66061154055686e-05×R²
    0.000191750000000046×3.66061154055686e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.66061154055686e-05×40589641000000     		ar = 56541.0058402158m²