Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20443 / 4336
↖ ↑ ↗
← N 78.664608°
E 44.593506°		 ← 240.12 m → N 78.664608°
E 44.604492°		 →
↑
240.12 m
↓
↑
240.12 m
↓
N 78.662448°
E 44.593506°		 ← 240.16 m →
57 663 m²		 N 78.662448°
E 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623886108398438 y=0.132339477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623886108398438 × 215)
    floor (0.623886108398438 × 32768)
    floor (20443.5)     		tx = 20443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132339477539062 × 215)
    floor (0.132339477539062 × 32768)
    floor (4336.5)     		ty = 4336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20443 / 4336 ti = "15/20443/4336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20443/4336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20443 ÷ 215
    20443 ÷ 32768     		x = 0.623870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4336 ÷ 215
    4336 ÷ 32768     		y = 0.13232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623870849609375 × 2 - 1) × π
    0.24774169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77830350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13232421875 × 2 - 1) × π
    0.7353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31017506648975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77830350} λ = 0.77830350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31017506648975))-π/2
    2×atan(10.076188503565)-π/2
    2×1.47187636807354-π/2
    2.94375273614707-1.57079632675     		φ = 1.37295641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77830350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.593506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37295641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.664608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20443 KachelY 4336 0.77830350 1.37295641 44.593506 78.664608
    Oben rechts KachelX + 1 20444 KachelY 4336 0.77849525 1.37295641 44.604492 78.664608
    Unten links KachelX 20443 KachelY + 1 4337 0.77830350 1.37291872 44.593506 78.662448
    Unten rechts KachelX + 1 20444 KachelY + 1 4337 0.77849525 1.37291872 44.604492 78.662448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37295641-1.37291872) × R
    3.76900000000902e-05 × 6371000     		dl = 240.122990000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37295641-1.37291872) × R
    3.76900000000902e-05 × 6371000     		dr = 240.122990000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77830350-0.77849525) × cos(1.37295641) × R
    0.000191749999999935 × 0.196551843595368 × 6371000     		do = 240.115446795881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77830350-0.77849525) × cos(1.37291872) × R
    0.000191749999999935 × 0.196588798253256 × 6371000     		du = 240.160592056428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37295641)-sin(1.37291872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196551843595368-0.196588798253256)×R²
    abs(0.77849525-0.77830350)×3.69546578885827e-05×R²
    0.000191749999999935×3.69546578885827e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.69546578885827e-05×40589641000000     		ar = 57662.6592440628m²