Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20442 / 4286
↖ ↑ ↗
← N 78.772071°
E 44.582519°		 ← 237.87 m → N 78.772071°
E 44.593506°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
N 78.769932°
E 44.582519°		 ← 237.91 m →
56 593 m²		 N 78.769932°
E 44.593506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623855590820312 y=0.130813598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623855590820312 × 215)
    floor (0.623855590820312 × 32768)
    floor (20442.5)     		tx = 20442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130813598632812 × 215)
    floor (0.130813598632812 × 32768)
    floor (4286.5)     		ty = 4286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20442 / 4286 ti = "15/20442/4286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20442/4286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20442 ÷ 215
    20442 ÷ 32768     		x = 0.62384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4286 ÷ 215
    4286 ÷ 32768     		y = 0.13079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62384033203125 × 2 - 1) × π
    0.2476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77811175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13079833984375 × 2 - 1) × π
    0.7384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31976244641376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77811175} λ = 0.77811175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31976244641376))-π/2
    2×atan(10.1732573252421)-π/2
    2×1.47281416141775-π/2
    2.94562832283551-1.57079632675     		φ = 1.37483200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77811175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.582519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37483200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.772071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20442 KachelY 4286 0.77811175 1.37483200 44.582519 78.772071
    Oben rechts KachelX + 1 20443 KachelY 4286 0.77830350 1.37483200 44.593506 78.772071
    Unten links KachelX 20442 KachelY + 1 4287 0.77811175 1.37479466 44.582519 78.769932
    Unten rechts KachelX + 1 20443 KachelY + 1 4287 0.77830350 1.37479466 44.593506 78.769932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37483200-1.37479466) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37483200-1.37479466) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77811175-0.77830350) × cos(1.37483200) × R
    0.000191750000000046 × 0.194712495276335 × 6371000     		do = 237.868426695067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77811175-0.77830350) × cos(1.37479466) × R
    0.000191750000000046 × 0.194749120466396 × 6371000     		du = 237.913169464785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37483200)-sin(1.37479466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194712495276335-0.194749120466396)×R²
    abs(0.77830350-0.77811175)×3.66251900612846e-05×R²
    0.000191750000000046×3.66251900612846e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.66251900612846e-05×40589641000000     		ar = 56592.5889396651m²