Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20441 / 4285
↖ ↑ ↗
← N 78.774210°
E 44.571533°		 ← 237.81 m → N 78.774210°
E 44.582519°		 →
↑
237.83 m
↓
↑
237.83 m
↓
N 78.772071°
E 44.571533°		 ← 237.86 m →
56 564 m²		 N 78.772071°
E 44.582519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623825073242188 y=0.130783081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623825073242188 × 215)
    floor (0.623825073242188 × 32768)
    floor (20441.5)     		tx = 20441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130783081054688 × 215)
    floor (0.130783081054688 × 32768)
    floor (4285.5)     		ty = 4285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20441 / 4285 ti = "15/20441/4285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20441/4285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20441 ÷ 215
    20441 ÷ 32768     		x = 0.623809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4285 ÷ 215
    4285 ÷ 32768     		y = 0.130767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623809814453125 × 2 - 1) × π
    0.24761962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77792001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130767822265625 × 2 - 1) × π
    0.73846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31995419401224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77792001} λ = 0.77792001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31995419401224))-π/2
    2×atan(10.1752082099357)-π/2
    2×1.47283282748941-π/2
    2.94566565497883-1.57079632675     		φ = 1.37486933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77792001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.571533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37486933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.774210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20441 KachelY 4285 0.77792001 1.37486933 44.571533 78.774210
    Oben rechts KachelX + 1 20442 KachelY 4285 0.77811175 1.37486933 44.582519 78.774210
    Unten links KachelX 20441 KachelY + 1 4286 0.77792001 1.37483200 44.571533 78.772071
    Unten rechts KachelX + 1 20442 KachelY + 1 4286 0.77811175 1.37483200 44.582519 78.772071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37486933-1.37483200) × R
    3.73299999998356e-05 × 6371000     		dl = 237.829429998952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37486933-1.37483200) × R
    3.73299999998356e-05 × 6371000     		dr = 237.829429998952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77792001-0.77811175) × cos(1.37486933) × R
    0.000191739999999996 × 0.194675879623467 × 6371000     		do = 237.811292776006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77792001-0.77811175) × cos(1.37483200) × R
    0.000191739999999996 × 0.194712495276335 × 6371000     		du = 237.856021561931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37486933)-sin(1.37483200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194675879623467-0.194712495276335)×R²
    abs(0.77811175-0.77792001)×3.66156528677497e-05×R²
    0.000191739999999996×3.66156528677497e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.66156528677497e-05×40589641000000     		ar = 56563.8431253804m²