Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20438 / 4276
↖ ↑ ↗
← N 78.793442°
E 44.538574°		 ← 237.42 m → N 78.793442°
E 44.549560°		 →
↑
237.45 m
↓
↑
237.45 m
↓
N 78.791307°
E 44.538574°		 ← 237.47 m →
56 380 m²		 N 78.791307°
E 44.549560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623733520507812 y=0.130508422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623733520507812 × 215)
    floor (0.623733520507812 × 32768)
    floor (20438.5)     		tx = 20438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130508422851562 × 215)
    floor (0.130508422851562 × 32768)
    floor (4276.5)     		ty = 4276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20438 / 4276 ti = "15/20438/4276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20438/4276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20438 ÷ 215
    20438 ÷ 32768     		x = 0.62371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4276 ÷ 215
    4276 ÷ 32768     		y = 0.1304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62371826171875 × 2 - 1) × π
    0.2474365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77734476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1304931640625 × 2 - 1) × π
    0.739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32167992239856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77734476} λ = 0.77734476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32167992239856))-π/2
    2×atan(10.1927830158894)-π/2
    2×1.47300066424395-π/2
    2.9460013284879-1.57079632675     		φ = 1.37520500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77734476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.538574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37520500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.793442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20438 KachelY 4276 0.77734476 1.37520500 44.538574 78.793442
    Oben rechts KachelX + 1 20439 KachelY 4276 0.77753651 1.37520500 44.549560 78.793442
    Unten links KachelX 20438 KachelY + 1 4277 0.77734476 1.37516773 44.538574 78.791307
    Unten rechts KachelX + 1 20439 KachelY + 1 4277 0.77753651 1.37516773 44.549560 78.791307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37520500-1.37516773) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dl = 237.447169999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37520500-1.37516773) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dr = 237.447169999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77734476-0.77753651) × cos(1.37520500) × R
    0.000191750000000046 × 0.194346620825772 × 6371000     		do = 237.421460105688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77734476-0.77753651) × cos(1.37516773) × R
    0.000191750000000046 × 0.194383180060664 × 6371000     		du = 237.466122301982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37520500)-sin(1.37516773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194346620825772-0.194383180060664)×R²
    abs(0.77753651-0.77734476)×3.65592348922916e-05×R²
    0.000191750000000046×3.65592348922916e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.65592348922916e-05×40589641000000     		ar = 56380.3562624448m²