Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20430 / 4338
↖ ↑ ↗
← N 78.660288°
E 44.450683°		 ← 240.21 m → N 78.660288°
E 44.461670°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
N 78.658128°
E 44.450683°		 ← 240.25 m →
57 715 m²		 N 78.658128°
E 44.461670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623489379882812 y=0.132400512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623489379882812 × 215)
    floor (0.623489379882812 × 32768)
    floor (20430.5)     		tx = 20430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132400512695312 × 215)
    floor (0.132400512695312 × 32768)
    floor (4338.5)     		ty = 4338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20430 / 4338 ti = "15/20430/4338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20430/4338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20430 ÷ 215
    20430 ÷ 32768     		x = 0.62347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4338 ÷ 215
    4338 ÷ 32768     		y = 0.13238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62347412109375 × 2 - 1) × π
    0.2469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77581078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13238525390625 × 2 - 1) × π
    0.7352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30979157129279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77581078} λ = 0.77581078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30979157129279))-π/2
    2×atan(10.0723250745208)-π/2
    2×1.47183867264289-π/2
    2.94367734528579-1.57079632675     		φ = 1.37288102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77581078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.450683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37288102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.660288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20430 KachelY 4338 0.77581078 1.37288102 44.450683 78.660288
    Oben rechts KachelX + 1 20431 KachelY 4338 0.77600253 1.37288102 44.461670 78.660288
    Unten links KachelX 20430 KachelY + 1 4339 0.77581078 1.37284331 44.450683 78.658128
    Unten rechts KachelX + 1 20431 KachelY + 1 4339 0.77600253 1.37284331 44.461670 78.658128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37288102-1.37284331) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37288102-1.37284331) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77581078-0.77600253) × cos(1.37288102) × R
    0.000191749999999935 × 0.19662576243667 × 6371000     		do = 240.20574895373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77581078-0.77600253) × cos(1.37284331) × R
    0.000191749999999935 × 0.196662736145332 × 6371000     		du = 240.25091748745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37288102)-sin(1.37284331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19662576243667-0.196662736145332)×R²
    abs(0.77600253-0.77581078)×3.69737086628741e-05×R²
    0.000191749999999935×3.69737086628741e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.69737086628741e-05×40589641000000     		ar = 57714.9555569041m²