Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20426 / 4337
↖ ↑ ↗
← N 78.662448°
E 44.406738°		 ← 240.16 m → N 78.662448°
E 44.417725°		 →
↑
240.19 m
↓
↑
240.19 m
↓
N 78.660288°
E 44.406738°		 ← 240.21 m →
57 689 m²		 N 78.660288°
E 44.417725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623367309570312 y=0.132369995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623367309570312 × 215)
    floor (0.623367309570312 × 32768)
    floor (20426.5)     		tx = 20426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132369995117188 × 215)
    floor (0.132369995117188 × 32768)
    floor (4337.5)     		ty = 4337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20426 / 4337 ti = "15/20426/4337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20426/4337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20426 ÷ 215
    20426 ÷ 32768     		x = 0.62335205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4337 ÷ 215
    4337 ÷ 32768     		y = 0.132354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62335205078125 × 2 - 1) × π
    0.2467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77504379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132354736328125 × 2 - 1) × π
    0.73529052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30998331889127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77504379} λ = 0.77504379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30998331889127))-π/2
    2×atan(10.0742566038421)-π/2
    2×1.47185752212995-π/2
    2.94371504425991-1.57079632675     		φ = 1.37291872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77504379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.406738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37291872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.662448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20426 KachelY 4337 0.77504379 1.37291872 44.406738 78.662448
    Oben rechts KachelX + 1 20427 KachelY 4337 0.77523554 1.37291872 44.417725 78.662448
    Unten links KachelX 20426 KachelY + 1 4338 0.77504379 1.37288102 44.406738 78.660288
    Unten rechts KachelX + 1 20427 KachelY + 1 4338 0.77523554 1.37288102 44.417725 78.660288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37291872-1.37288102) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dl = 240.186700000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37291872-1.37288102) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dr = 240.186700000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77504379-0.77523554) × cos(1.37291872) × R
    0.000191749999999935 × 0.196588798253256 × 6371000     		do = 240.160592056428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77504379-0.77523554) × cos(1.37288102) × R
    0.000191749999999935 × 0.19662576243667 × 6371000     		du = 240.20574895373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37291872)-sin(1.37288102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196588798253256-0.19662576243667)×R²
    abs(0.77523554-0.77504379)×3.6964183413174e-05×R²
    0.000191749999999935×3.6964183413174e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.6964183413174e-05×40589641000000     		ar = 57688.8031258122m²