Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20425 / 4311
↖ ↑ ↗
← N 78.718466°
E 44.395752°		 ← 238.98 m → N 78.718466°
E 44.406738°		 →
↑
239.04 m
↓
↑
239.04 m
↓
N 78.716316°
E 44.395752°		 ← 239.02 m →
57 130 m²		 N 78.716316°
E 44.406738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623336791992188 y=0.131576538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623336791992188 × 215)
    floor (0.623336791992188 × 32768)
    floor (20425.5)     		tx = 20425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131576538085938 × 215)
    floor (0.131576538085938 × 32768)
    floor (4311.5)     		ty = 4311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20425 / 4311 ti = "15/20425/4311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20425/4311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20425 ÷ 215
    20425 ÷ 32768     		x = 0.623321533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4311 ÷ 215
    4311 ÷ 32768     		y = 0.131561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623321533203125 × 2 - 1) × π
    0.24664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77485205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131561279296875 × 2 - 1) × π
    0.73687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31496875645175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77485205} λ = 0.77485205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31496875645175))-π/2
    2×atan(10.1246065851673)-π/2
    2×1.47234636690027-π/2
    2.94469273380054-1.57079632675     		φ = 1.37389641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77485205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.395752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37389641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.718466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20425 KachelY 4311 0.77485205 1.37389641 44.395752 78.718466
    Oben rechts KachelX + 1 20426 KachelY 4311 0.77504379 1.37389641 44.406738 78.718466
    Unten links KachelX 20425 KachelY + 1 4312 0.77485205 1.37385889 44.395752 78.716316
    Unten rechts KachelX + 1 20426 KachelY + 1 4312 0.77504379 1.37385889 44.406738 78.716316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37389641-1.37385889) × R
    3.75200000000131e-05 × 6371000     		dl = 239.039920000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37389641-1.37385889) × R
    3.75200000000131e-05 × 6371000     		dr = 239.039920000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77485205-0.77504379) × cos(1.37389641) × R
    0.000191739999999996 × 0.195630093067181 × 6371000     		do = 238.976936578787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77485205-0.77504379) × cos(1.37385889) × R
    0.000191739999999996 × 0.195666887958985 × 6371000     		du = 239.021884318612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37389641)-sin(1.37385889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195630093067181-0.195666887958985)×R²
    abs(0.77504379-0.77485205)×3.67948918039429e-05×R²
    0.000191739999999996×3.67948918039429e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.67948918039429e-05×40589641000000     		ar = 57130.3999601561m²