Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20422 / 5094
↖ ↑ ↗
← N 76.905688°
E 44.362793°		 ← 276.77 m → N 76.905688°
E 44.373779°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 76.903199°
E 44.362793°		 ← 276.82 m →
76 622 m²		 N 76.903199°
E 44.373779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623245239257812 y=0.155471801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623245239257812 × 215)
    floor (0.623245239257812 × 32768)
    floor (20422.5)     		tx = 20422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155471801757812 × 215)
    floor (0.155471801757812 × 32768)
    floor (5094.5)     		ty = 5094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20422 / 5094 ti = "15/20422/5094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20422/5094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20422 ÷ 215
    20422 ÷ 32768     		x = 0.62322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5094 ÷ 215
    5094 ÷ 32768     		y = 0.15545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62322998046875 × 2 - 1) × π
    0.2464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77427680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15545654296875 × 2 - 1) × π
    0.6890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16483038684174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77427680} λ = 0.77427680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16483038684174))-π/2
    2×atan(8.71312393104357)-π/2
    2×1.45652689674573-π/2
    2.91305379349146-1.57079632675     		φ = 1.34225747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77427680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34225747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.905688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20422 KachelY 5094 0.77427680 1.34225747 44.362793 76.905688
    Oben rechts KachelX + 1 20423 KachelY 5094 0.77446855 1.34225747 44.373779 76.905688
    Unten links KachelX 20422 KachelY + 1 5095 0.77427680 1.34221402 44.362793 76.903199
    Unten rechts KachelX + 1 20423 KachelY + 1 5095 0.77446855 1.34221402 44.373779 76.903199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34225747-1.34221402) × R
    4.3450000000167e-05 × 6371000     		dl = 276.819950001064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34225747-1.34221402) × R
    4.3450000000167e-05 × 6371000     		dr = 276.819950001064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77427680-0.77446855) × cos(1.34225747) × R
    0.000191750000000046 × 0.226554614645243 × 6371000     		do = 276.768009519321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77427680-0.77446855) × cos(1.34221402) × R
    0.000191750000000046 × 0.226596934664606 × 6371000     		du = 276.819709316035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34225747)-sin(1.34221402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226554614645243-0.226596934664606)×R²
    abs(0.77446855-0.77427680)×4.23200193623297e-05×R²
    0.000191750000000046×4.23200193623297e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.23200193623297e-05×40589641000000     		ar = 76622.062337022m²