Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20422 / 5083
↖ ↑ ↗
← N 76.933039°
E 44.362793°		 ← 276.20 m → N 76.933039°
E 44.373779°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 76.930554°
E 44.362793°		 ← 276.25 m →
76 306 m²		 N 76.930554°
E 44.373779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623245239257812 y=0.155136108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623245239257812 × 215)
    floor (0.623245239257812 × 32768)
    floor (20422.5)     		tx = 20422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155136108398438 × 215)
    floor (0.155136108398438 × 32768)
    floor (5083.5)     		ty = 5083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20422 / 5083 ti = "15/20422/5083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20422/5083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20422 ÷ 215
    20422 ÷ 32768     		x = 0.62322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5083 ÷ 215
    5083 ÷ 32768     		y = 0.155120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62322998046875 × 2 - 1) × π
    0.2464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77427680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155120849609375 × 2 - 1) × π
    0.68975830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16693961042502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77427680} λ = 0.77427680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16693961042502))-π/2
    2×atan(8.73152125273485)-π/2
    2×1.45676557865242-π/2
    2.91353115730485-1.57079632675     		φ = 1.34273483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77427680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34273483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.933039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20422 KachelY 5083 0.77427680 1.34273483 44.362793 76.933039
    Oben rechts KachelX + 1 20423 KachelY 5083 0.77446855 1.34273483 44.373779 76.933039
    Unten links KachelX 20422 KachelY + 1 5084 0.77427680 1.34269147 44.362793 76.930554
    Unten rechts KachelX + 1 20423 KachelY + 1 5084 0.77446855 1.34269147 44.373779 76.930554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34273483-1.34269147) × R
    4.33599999998258e-05 × 6371000     		dl = 276.24655999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34273483-1.34269147) × R
    4.33599999998258e-05 × 6371000     		dr = 276.24655999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77427680-0.77446855) × cos(1.34273483) × R
    0.000191750000000046 × 0.226089640943653 × 6371000     		do = 276.199979395239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77427680-0.77446855) × cos(1.34269147) × R
    0.000191750000000046 × 0.226131877988965 × 6371000     		du = 276.251577827597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34273483)-sin(1.34269147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226089640943653-0.226131877988965)×R²
    abs(0.77446855-0.77427680)×4.22370453125875e-05×R²
    0.000191750000000046×4.22370453125875e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.22370453125875e-05×40589641000000     		ar = 76306.4211362086m²