Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20421 / 5097
↖ ↑ ↗
← N 76.898219°
E 44.351807°		 ← 276.91 m → N 76.898219°
E 44.362793°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 76.895728°
E 44.351807°		 ← 276.96 m →
76 696 m²		 N 76.895728°
E 44.362793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623214721679688 y=0.155563354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623214721679688 × 215)
    floor (0.623214721679688 × 32768)
    floor (20421.5)     		tx = 20421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155563354492188 × 215)
    floor (0.155563354492188 × 32768)
    floor (5097.5)     		ty = 5097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20421 / 5097 ti = "15/20421/5097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20421/5097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20421 ÷ 215
    20421 ÷ 32768     		x = 0.623199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5097 ÷ 215
    5097 ÷ 32768     		y = 0.155548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623199462890625 × 2 - 1) × π
    0.24639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77408506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155548095703125 × 2 - 1) × π
    0.68890380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1642551440463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77408506} λ = 0.77408506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1642551440463))-π/2
    2×atan(8.70811321060505)-π/2
    2×1.456461716532-π/2
    2.91292343306401-1.57079632675     		φ = 1.34212711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77408506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.351807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34212711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.898219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20421 KachelY 5097 0.77408506 1.34212711 44.351807 76.898219
    Oben rechts KachelX + 1 20422 KachelY 5097 0.77427680 1.34212711 44.362793 76.898219
    Unten links KachelX 20421 KachelY + 1 5098 0.77408506 1.34208364 44.351807 76.895728
    Unten rechts KachelX + 1 20422 KachelY + 1 5098 0.77427680 1.34208364 44.362793 76.895728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34212711-1.34208364) × R
    4.34700000000454e-05 × 6371000     		dl = 276.947370000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34212711-1.34208364) × R
    4.34700000000454e-05 × 6371000     		dr = 276.947370000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77408506-0.77427680) × cos(1.34212711) × R
    0.000191739999999996 × 0.226681583159561 × 6371000     		do = 276.908677356189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77408506-0.77427680) × cos(1.34208364) × R
    0.000191739999999996 × 0.226723921374387 × 6371000     		du = 276.960396683828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34212711)-sin(1.34208364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226681583159561-0.226723921374387)×R²
    abs(0.77427680-0.77408506)×4.23382148266593e-05×R²
    0.000191739999999996×4.23382148266593e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.23382148266593e-05×40589641000000     		ar = 76696.2917017236m²