Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20420 / 5093
↖ ↑ ↗
← N 76.908176°
E 44.340820°		 ← 276.72 m → N 76.908176°
E 44.351807°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 76.905688°
E 44.340820°		 ← 276.77 m →
76 572 m²		 N 76.905688°
E 44.351807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623184204101562 y=0.155441284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623184204101562 × 215)
    floor (0.623184204101562 × 32768)
    floor (20420.5)     		tx = 20420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155441284179688 × 215)
    floor (0.155441284179688 × 32768)
    floor (5093.5)     		ty = 5093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20420 / 5093 ti = "15/20420/5093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20420/5093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20420 ÷ 215
    20420 ÷ 32768     		x = 0.6231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5093 ÷ 215
    5093 ÷ 32768     		y = 0.155426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155426025390625 × 2 - 1) × π
    0.68914794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16502213444022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77389331} λ = 0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16502213444022))-π/2
    2×atan(8.71479481182118)-π/2
    2×1.45654861536951-π/2
    2.91309723073901-1.57079632675     		φ = 1.34230090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34230090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.908176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20420 KachelY 5093 0.77389331 1.34230090 44.340820 76.908176
    Oben rechts KachelX + 1 20421 KachelY 5093 0.77408506 1.34230090 44.351807 76.908176
    Unten links KachelX 20420 KachelY + 1 5094 0.77389331 1.34225747 44.340820 76.905688
    Unten rechts KachelX + 1 20421 KachelY + 1 5094 0.77408506 1.34225747 44.351807 76.905688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34230090-1.34225747) × R
    4.34299999998444e-05 × 6371000     		dl = 276.692529999009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34230090-1.34225747) × R
    4.34299999998444e-05 × 6371000     		dr = 276.692529999009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77389331-0.77408506) × cos(1.34230090) × R
    0.000191750000000046 × 0.226512313678334 × 6371000     		do = 276.716332997832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77389331-0.77408506) × cos(1.34225747) × R
    0.000191750000000046 × 0.226554614645243 × 6371000     		du = 276.768009519321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34230090)-sin(1.34225747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226512313678334-0.226554614645243)×R²
    abs(0.77408506-0.77389331)×4.23009669089647e-05×R²
    0.000191750000000046×4.23009669089647e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.23009669089647e-05×40589641000000     		ar = 76572.4915345395m²