Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2042 / 1002
↖ ↑ ↗
← N 67.272043°
W  0.527343°		 ← 3 775.85 m → N 67.272043°
W  0.439453°		 →
↑
3 778.51 m
↓
↑
3 778.51 m
↓
N 67.238062°
W  0.527343°		 ← 3 781.20 m →
14 277 209 m²		 N 67.238062°
W  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4986572265625 y=0.2447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4986572265625 × 212)
    floor (0.4986572265625 × 4096)
    floor (2042.5)     		tx = 2042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2447509765625 × 212)
    floor (0.2447509765625 × 4096)
    floor (1002.5)     		ty = 1002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2042 / 1002 ti = "12/2042/1002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2042/1002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2042 ÷ 212
    2042 ÷ 4096     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1002 ÷ 212
    1002 ÷ 4096     		y = 0.24462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24462890625 × 2 - 1) × π
    0.5107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60454390408252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60454390408252))-π/2
    2×atan(4.97558973897423)-π/2
    2×1.37245748299026-π/2
    2.74491496598052-1.57079632675     		φ = 1.17411864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17411864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.272043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2042 KachelY 1002 -0.00920388 1.17411864 -0.527343 67.272043
    Oben rechts KachelX + 1 2043 KachelY 1002 -0.00766990 1.17411864 -0.439453 67.272043
    Unten links KachelX 2042 KachelY + 1 1003 -0.00920388 1.17352556 -0.527343 67.238062
    Unten rechts KachelX + 1 2043 KachelY + 1 1003 -0.00766990 1.17352556 -0.439453 67.238062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17411864-1.17352556) × R
    0.000593080000000024 × 6371000     		dl = 3778.51268000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17411864-1.17352556) × R
    0.000593080000000024 × 6371000     		dr = 3778.51268000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00766990) × cos(1.17411864) × R
    0.00153398 × 0.38635614568282 × 6371000     		do = 3775.85342685872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00766990) × cos(1.17352556) × R
    0.00153398 × 0.386903104848635 × 6371000     		du = 3781.19885144604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17411864)-sin(1.17352556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38635614568282-0.386903104848635)×R²
    abs(-0.00766990--0.00920388)×0.000546959165815153×R²
    0.00153398×0.000546959165815153×6371000²
    0.00153398×0.000546959165815153×40589641000000     		ar = 14277209.3469878m²