Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20419 / 5076
↖ ↑ ↗
← N 76.950415°
E 44.329834°		 ← 275.84 m → N 76.950415°
E 44.340820°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
N 76.947934°
E 44.329834°		 ← 275.89 m →
76 101 m²		 N 76.947934°
E 44.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623153686523438 y=0.154922485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623153686523438 × 215)
    floor (0.623153686523438 × 32768)
    floor (20419.5)     		tx = 20419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154922485351562 × 215)
    floor (0.154922485351562 × 32768)
    floor (5076.5)     		ty = 5076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20419 / 5076 ti = "15/20419/5076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20419/5076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20419 ÷ 215
    20419 ÷ 32768     		x = 0.623138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5076 ÷ 215
    5076 ÷ 32768     		y = 0.1549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623138427734375 × 2 - 1) × π
    0.24627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77370156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1549072265625 × 2 - 1) × π
    0.690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16828184361438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77370156} λ = 0.77370156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16828184361438))-π/2
    2×atan(8.74324885918449)-π/2
    2×1.45691721200944-π/2
    2.91383442401888-1.57079632675     		φ = 1.34303810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77370156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.329834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34303810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.950415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20419 KachelY 5076 0.77370156 1.34303810 44.329834 76.950415
    Oben rechts KachelX + 1 20420 KachelY 5076 0.77389331 1.34303810 44.340820 76.950415
    Unten links KachelX 20419 KachelY + 1 5077 0.77370156 1.34299480 44.329834 76.947934
    Unten rechts KachelX + 1 20420 KachelY + 1 5077 0.77389331 1.34299480 44.340820 76.947934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34303810-1.34299480) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dl = 275.864299999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34303810-1.34299480) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dr = 275.864299999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77370156-0.77389331) × cos(1.34303810) × R
    0.000191749999999935 × 0.225794213272747 × 6371000     		do = 275.839073356765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77370156-0.77389331) × cos(1.34299480) × R
    0.000191749999999935 × 0.225836394839511 × 6371000     		du = 275.890604014351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34303810)-sin(1.34299480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225794213272747-0.225836394839511)×R²
    abs(0.77389331-0.77370156)×4.21815667644987e-05×R²
    0.000191749999999935×4.21815667644987e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.21815667644987e-05×40589641000000     		ar = 76101.2606299495m²