Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20419 / 5075
↖ ↑ ↗
← N 76.952895°
E 44.329834°		 ← 275.79 m → N 76.952895°
E 44.340820°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 76.950415°
E 44.329834°		 ← 275.84 m →
76 069 m²		 N 76.950415°
E 44.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623153686523438 y=0.154891967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623153686523438 × 215)
    floor (0.623153686523438 × 32768)
    floor (20419.5)     		tx = 20419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154891967773438 × 215)
    floor (0.154891967773438 × 32768)
    floor (5075.5)     		ty = 5075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20419 / 5075 ti = "15/20419/5075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20419/5075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20419 ÷ 215
    20419 ÷ 32768     		x = 0.623138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5075 ÷ 215
    5075 ÷ 32768     		y = 0.154876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623138427734375 × 2 - 1) × π
    0.24627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77370156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154876708984375 × 2 - 1) × π
    0.69024658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16847359121286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77370156} λ = 0.77370156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16847359121286))-π/2
    2×atan(8.74492551689856)-π/2
    2×1.45693885773704-π/2
    2.91387771547408-1.57079632675     		φ = 1.34308139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77370156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.329834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34308139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.952895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20419 KachelY 5075 0.77370156 1.34308139 44.329834 76.952895
    Oben rechts KachelX + 1 20420 KachelY 5075 0.77389331 1.34308139 44.340820 76.952895
    Unten links KachelX 20419 KachelY + 1 5076 0.77370156 1.34303810 44.329834 76.950415
    Unten rechts KachelX + 1 20420 KachelY + 1 5076 0.77389331 1.34303810 44.340820 76.950415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34308139-1.34303810) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dl = 275.800590000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34308139-1.34303810) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dr = 275.800590000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77370156-0.77389331) × cos(1.34308139) × R
    0.000191749999999935 × 0.225752041024491 × 6371000     		do = 275.787554083035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77370156-0.77389331) × cos(1.34303810) × R
    0.000191749999999935 × 0.225794213272747 × 6371000     		du = 275.839073356765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34308139)-sin(1.34303810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225752041024491-0.225794213272747)×R²
    abs(0.77389331-0.77370156)×4.21722482558673e-05×R²
    0.000191749999999935×4.21722482558673e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.21722482558673e-05×40589641000000     		ar = 76069.4746660078m²