Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20419 / 4335
↖ ↑ ↗
← N 78.666767°
E 44.329834°		 ← 240.07 m → N 78.666767°
E 44.340820°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
N 78.664608°
E 44.329834°		 ← 240.12 m →
57 637 m²		 N 78.664608°
E 44.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623153686523438 y=0.132308959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623153686523438 × 215)
    floor (0.623153686523438 × 32768)
    floor (20419.5)     		tx = 20419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132308959960938 × 215)
    floor (0.132308959960938 × 32768)
    floor (4335.5)     		ty = 4335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20419 / 4335 ti = "15/20419/4335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20419/4335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20419 ÷ 215
    20419 ÷ 32768     		x = 0.623138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4335 ÷ 215
    4335 ÷ 32768     		y = 0.132293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623138427734375 × 2 - 1) × π
    0.24627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77370156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132293701171875 × 2 - 1) × π
    0.73541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31036681408823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77370156} λ = 0.77370156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31036681408823))-π/2
    2×atan(10.0781207737606)-π/2
    2×1.47189521047428-π/2
    2.94379042094855-1.57079632675     		φ = 1.37299409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77370156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.329834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37299409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.666767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20419 KachelY 4335 0.77370156 1.37299409 44.329834 78.666767
    Oben rechts KachelX + 1 20420 KachelY 4335 0.77389331 1.37299409 44.340820 78.666767
    Unten links KachelX 20419 KachelY + 1 4336 0.77370156 1.37295641 44.329834 78.664608
    Unten rechts KachelX + 1 20420 KachelY + 1 4336 0.77389331 1.37295641 44.340820 78.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37299409-1.37295641) × R
    3.76799999999289e-05 × 6371000     		dl = 240.059279999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37299409-1.37295641) × R
    3.76799999999289e-05 × 6371000     		dr = 240.059279999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77370156-0.77389331) × cos(1.37299409) × R
    0.000191749999999935 × 0.196514898463279 × 6371000     		do = 240.070313172425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77370156-0.77389331) × cos(1.37295641) × R
    0.000191749999999935 × 0.196551843595368 × 6371000     		du = 240.115446795881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37299409)-sin(1.37295641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196514898463279-0.196551843595368)×R²
    abs(0.77389331-0.77370156)×3.69451320890446e-05×R²
    0.000191749999999935×3.69451320890446e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.69451320890446e-05×40589641000000     		ar = 57636.5239090637m²