Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20416 / 11970
↖ ↑ ↗
← N 81.227429°
W123.925781°		 ← 46.58 m → N 81.227429°
W123.923034°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
N 81.227010°
W123.925781°		 ← 46.58 m →
2 172 m²		 N 81.227010°
W123.923034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155765533447266 y=0.0913276672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155765533447266 × 217)
    floor (0.155765533447266 × 131072)
    floor (20416.5)     		tx = 20416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0913276672363281 × 217)
    floor (0.0913276672363281 × 131072)
    floor (11970.5)     		ty = 11970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20416 / 11970 ti = "17/20416/11970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20416/11970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20416 ÷ 217
    20416 ÷ 131072     		x = 0.15576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11970 ÷ 217
    11970 ÷ 131072     		y = 0.0913238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15576171875 × 2 - 1) × π
    -0.6884765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.16291291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0913238525390625 × 2 - 1) × π
    0.817352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56778796504793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16291291} λ = -2.16291291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56778796504793))-π/2
    2×atan(13.0369543232203)-π/2
    2×1.49424120133102-π/2
    2.98848240266205-1.57079632675     		φ = 1.41768608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16291291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41768608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.227429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20416 KachelY 11970 -2.16291291 1.41768608 -123.925781 81.227429
    Oben rechts KachelX + 1 20417 KachelY 11970 -2.16286497 1.41768608 -123.923034 81.227429
    Unten links KachelX 20416 KachelY + 1 11971 -2.16291291 1.41767876 -123.925781 81.227010
    Unten rechts KachelX + 1 20417 KachelY + 1 11971 -2.16286497 1.41767876 -123.923034 81.227010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41768608-1.41767876) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dl = 46.635719999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41768608-1.41767876) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dr = 46.635719999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16291291--2.16286497) × cos(1.41768608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15251272678698 × 6371000     		do = 46.5813124383008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16291291--2.16286497) × cos(1.41767876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152519961149923 × 6371000     		du = 46.5835219989561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41768608)-sin(1.41767876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15251272678698-0.152519961149923)×R²
    abs(-2.16286497--2.16291291)×7.23436294300384e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.23436294300384e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.23436294300384e-06×40589641000000     		ar = 2172.40456632847m²