Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20415 / 28815
↖ ↑ ↗
← S 79.462551°
E 44.285889°		 ← 223.41 m → S 79.462551°
E 44.296875°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
S 79.464560°
E 44.285889°		 ← 223.37 m →
49 912 m²		 S 79.464560°
E 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623031616210938 y=0.879379272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623031616210938 × 215)
    floor (0.623031616210938 × 32768)
    floor (20415.5)     		tx = 20415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879379272460938 × 215)
    floor (0.879379272460938 × 32768)
    floor (28815.5)     		ty = 28815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20415 / 28815 ti = "15/20415/28815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20415/28815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20415 ÷ 215
    20415 ÷ 32768     		x = 0.623016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28815 ÷ 215
    28815 ÷ 32768     		y = 0.879364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623016357421875 × 2 - 1) × π
    0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.75872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38361439670767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77293457} λ = 0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38361439670767))-π/2
    2×atan(0.0922166668140709)-π/2
    2×0.0919565916670605-π/2
    0.183913183334121-1.57079632675     		φ = -1.38688314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38688314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.462551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20415 KachelY 28815 0.77293457 -1.38688314 44.285889 -79.462551
    Oben rechts KachelX + 1 20416 KachelY 28815 0.77312632 -1.38688314 44.296875 -79.462551
    Unten links KachelX 20415 KachelY + 1 28816 0.77293457 -1.38691821 44.285889 -79.464560
    Unten rechts KachelX + 1 20416 KachelY + 1 28816 0.77312632 -1.38691821 44.296875 -79.464560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38688314--1.38691821) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38688314--1.38691821) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77293457-0.77312632) × cos(-1.38688314) × R
    0.000191750000000046 × 0.182878157005978 × 6371000     		do = 223.411134566218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77293457-0.77312632) × cos(-1.38691821) × R
    0.000191750000000046 × 0.182843678328536 × 6371000     		du = 223.369014060568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38688314)-sin(-1.38691821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182878157005978-0.182843678328536)×R²
    abs(0.77312632-0.77293457)×3.4478677441635e-05×R²
    0.000191750000000046×3.4478677441635e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.4478677441635e-05×40589641000000     		ar = 49912.2609972466m²