Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20415 / 28813
↖ ↑ ↗
← S 79.458532°
E 44.285889°		 ← 223.50 m → S 79.458532°
E 44.296875°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
S 79.460541°
E 44.285889°		 ← 223.45 m →
49 931 m²		 S 79.460541°
E 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623031616210938 y=0.879318237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623031616210938 × 215)
    floor (0.623031616210938 × 32768)
    floor (20415.5)     		tx = 20415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879318237304688 × 215)
    floor (0.879318237304688 × 32768)
    floor (28813.5)     		ty = 28813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20415 / 28813 ti = "15/20415/28813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20415/28813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20415 ÷ 215
    20415 ÷ 32768     		x = 0.623016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28813 ÷ 215
    28813 ÷ 32768     		y = 0.879302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623016357421875 × 2 - 1) × π
    0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.75860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38323090151071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77293457} λ = 0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38323090151071))-π/2
    2×atan(0.0922520382448273)-π/2
    2×0.0919916647251428-π/2
    0.183983329450286-1.57079632675     		φ = -1.38681300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38681300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.458532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20415 KachelY 28813 0.77293457 -1.38681300 44.285889 -79.458532
    Oben rechts KachelX + 1 20416 KachelY 28813 0.77312632 -1.38681300 44.296875 -79.458532
    Unten links KachelX 20415 KachelY + 1 28814 0.77293457 -1.38684807 44.285889 -79.460541
    Unten rechts KachelX + 1 20416 KachelY + 1 28814 0.77312632 -1.38684807 44.296875 -79.460541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38681300--1.38684807) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38681300--1.38684807) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77293457-0.77312632) × cos(-1.38681300) × R
    0.000191750000000046 × 0.18294711368605 × 6371000     		do = 223.495374753145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77293457-0.77312632) × cos(-1.38684807) × R
    0.000191750000000046 × 0.182912635458496 × 6371000     		du = 223.453254797094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38681300)-sin(-1.38684807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18294711368605-0.182912635458496)×R²
    abs(0.77312632-0.77293457)×3.44782275537303e-05×R²
    0.000191750000000046×3.44782275537303e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.44782275537303e-05×40589641000000     		ar = 49931.082925304m²