Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20414 / 5078
↖ ↑ ↗
← N 76.945452°
E 44.274902°		 ← 275.94 m → N 76.945452°
E 44.285889°		 →
↑
275.99 m
↓
↑
275.99 m
↓
N 76.942970°
E 44.274902°		 ← 275.99 m →
76 165 m²		 N 76.942970°
E 44.285889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623001098632812 y=0.154983520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623001098632812 × 215)
    floor (0.623001098632812 × 32768)
    floor (20414.5)     		tx = 20414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154983520507812 × 215)
    floor (0.154983520507812 × 32768)
    floor (5078.5)     		ty = 5078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20414 / 5078 ti = "15/20414/5078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20414/5078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20414 ÷ 215
    20414 ÷ 32768     		x = 0.62298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5078 ÷ 215
    5078 ÷ 32768     		y = 0.15496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62298583984375 × 2 - 1) × π
    0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15496826171875 × 2 - 1) × π
    0.6900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16789834841742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77274282} λ = 0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16789834841742))-π/2
    2×atan(8.73989650808752)-π/2
    2×1.45687390842241-π/2
    2.91374781684482-1.57079632675     		φ = 1.34295149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34295149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.945452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20414 KachelY 5078 0.77274282 1.34295149 44.274902 76.945452
    Oben rechts KachelX + 1 20415 KachelY 5078 0.77293457 1.34295149 44.285889 76.945452
    Unten links KachelX 20414 KachelY + 1 5079 0.77274282 1.34290817 44.274902 76.942970
    Unten rechts KachelX + 1 20415 KachelY + 1 5079 0.77293457 1.34290817 44.285889 76.942970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34295149-1.34290817) × R
    4.33199999998468e-05 × 6371000     		dl = 275.991719999024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34295149-1.34290817) × R
    4.33199999998468e-05 × 6371000     		dr = 275.991719999024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77274282-0.77293457) × cos(1.34295149) × R
    0.000191749999999935 × 0.225878585724412 × 6371000     		do = 275.942146055338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77274282-0.77293457) × cos(1.34290817) × R
    0.000191749999999935 × 0.225920785927076 × 6371000     		du = 275.993699479271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34295149)-sin(1.34290817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225878585724412-0.225920785927076)×R²
    abs(0.77293457-0.77274282)×4.22002026642387e-05×R²
    0.000191749999999935×4.22002026642387e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.22002026642387e-05×40589641000000     		ar = 76164.8616812452m²