Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20412 / 28805
↖ ↑ ↗
← S 79.442440°
E 44.252930°		 ← 223.82 m → S 79.442440°
E 44.263916°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
S 79.444453°
E 44.252930°		 ← 223.78 m →
50 089 m²		 S 79.444453°
E 44.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622940063476562 y=0.879074096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622940063476562 × 215)
    floor (0.622940063476562 × 32768)
    floor (20412.5)     		tx = 20412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879074096679688 × 215)
    floor (0.879074096679688 × 32768)
    floor (28805.5)     		ty = 28805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20412 / 28805 ti = "15/20412/28805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20412/28805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20412 ÷ 215
    20412 ÷ 32768     		x = 0.6229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28805 ÷ 215
    28805 ÷ 32768     		y = 0.879058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6229248046875 × 2 - 1) × π
    0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.75811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38169692072287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77235933} λ = 0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38169692072287))-π/2
    2×atan(0.0923936596936541)-π/2
    2×0.0921320892640005-π/2
    0.184264178528001-1.57079632675     		φ = -1.38653215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38653215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.442440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20412 KachelY 28805 0.77235933 -1.38653215 44.252930 -79.442440
    Oben rechts KachelX + 1 20413 KachelY 28805 0.77255107 -1.38653215 44.263916 -79.442440
    Unten links KachelX 20412 KachelY + 1 28806 0.77235933 -1.38656728 44.252930 -79.444453
    Unten rechts KachelX + 1 20413 KachelY + 1 28806 0.77255107 -1.38656728 44.263916 -79.444453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38653215--1.38656728) × R
    3.51299999998833e-05 × 6371000     		dl = 223.813229999257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38653215--1.38656728) × R
    3.51299999998833e-05 × 6371000     		dr = 223.813229999257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77235933-0.77255107) × cos(-1.38653215) × R
    0.000191739999999996 × 0.183223216493341 × 6371000     		do = 223.820999628385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77235933-0.77255107) × cos(-1.38656728) × R
    0.000191739999999996 × 0.183188681084233 × 6371000     		du = 223.778812017354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38653215)-sin(-1.38656728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183223216493341-0.183188681084233)×R²
    abs(0.77255107-0.77235933)×3.45354091086381e-05×R²
    0.000191739999999996×3.45354091086381e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.45354091086381e-05×40589641000000     		ar = 50089.3798011761m²