Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20411 / 4933
↖ ↑ ↗
← N 77.300450°
E 44.241943°		 ← 268.56 m → N 77.300450°
E 44.252930°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
N 77.298034°
E 44.241943°		 ← 268.61 m →
72 143 m²		 N 77.298034°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622909545898438 y=0.150558471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622909545898438 × 215)
    floor (0.622909545898438 × 32768)
    floor (20411.5)     		tx = 20411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150558471679688 × 215)
    floor (0.150558471679688 × 32768)
    floor (4933.5)     		ty = 4933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20411 / 4933 ti = "15/20411/4933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20411/4933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20411 ÷ 215
    20411 ÷ 32768     		x = 0.622894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4933 ÷ 215
    4933 ÷ 32768     		y = 0.150543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622894287109375 × 2 - 1) × π
    0.24578857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77216758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150543212890625 × 2 - 1) × π
    0.69891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19570175019705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77216758} λ = 0.77216758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19570175019705))-π/2
    2×atan(8.98630498596358)-π/2
    2×1.45997184184018-π/2
    2.91994368368036-1.57079632675     		φ = 1.34914736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77216758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.241943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34914736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.300450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20411 KachelY 4933 0.77216758 1.34914736 44.241943 77.300450
    Oben rechts KachelX + 1 20412 KachelY 4933 0.77235933 1.34914736 44.252930 77.300450
    Unten links KachelX 20411 KachelY + 1 4934 0.77216758 1.34910520 44.241943 77.298034
    Unten rechts KachelX + 1 20412 KachelY + 1 4934 0.77235933 1.34910520 44.252930 77.298034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34914736-1.34910520) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dl = 268.601360000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34914736-1.34910520) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dr = 268.601360000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77216758-0.77235933) × cos(1.34914736) × R
    0.000191750000000046 × 0.219838548147681 × 6371000     		do = 268.563399080287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77216758-0.77235933) × cos(1.34910520) × R
    0.000191750000000046 × 0.219879676561406 × 6371000     		du = 268.613643164783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34914736)-sin(1.34910520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219838548147681-0.219879676561406)×R²
    abs(0.77235933-0.77216758)×4.11284137244172e-05×R²
    0.000191750000000046×4.11284137244172e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.11284137244172e-05×40589641000000     		ar = 72143.2420650641m²