Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20410 / 5073
↖ ↑ ↗
← N 76.957855°
E 44.230957°		 ← 275.68 m → N 76.957855°
E 44.241943°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 76.955375°
E 44.230957°		 ← 275.74 m →
76 023 m²		 N 76.955375°
E 44.241943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622879028320312 y=0.154830932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622879028320312 × 215)
    floor (0.622879028320312 × 32768)
    floor (20410.5)     		tx = 20410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154830932617188 × 215)
    floor (0.154830932617188 × 32768)
    floor (5073.5)     		ty = 5073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20410 / 5073 ti = "15/20410/5073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20410/5073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20410 ÷ 215
    20410 ÷ 32768     		x = 0.62286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5073 ÷ 215
    5073 ÷ 32768     		y = 0.154815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62286376953125 × 2 - 1) × π
    0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154815673828125 × 2 - 1) × π
    0.69036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16885708640982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77197583} λ = 0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16885708640982))-π/2
    2×atan(8.74827979696611)-π/2
    2×1.45698213706397-π/2
    2.91396427412794-1.57079632675     		φ = 1.34316795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34316795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.957855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20410 KachelY 5073 0.77197583 1.34316795 44.230957 76.957855
    Oben rechts KachelX + 1 20411 KachelY 5073 0.77216758 1.34316795 44.241943 76.957855
    Unten links KachelX 20410 KachelY + 1 5074 0.77197583 1.34312467 44.230957 76.955375
    Unten rechts KachelX + 1 20411 KachelY + 1 5074 0.77216758 1.34312467 44.241943 76.955375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34316795-1.34312467) × R
    4.32800000000899e-05 × 6371000     		dl = 275.736880000573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34316795-1.34312467) × R
    4.32800000000899e-05 × 6371000     		dr = 275.736880000573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77197583-0.77216758) × cos(1.34316795) × R
    0.000191749999999935 × 0.225667714742951 × 6371000     		do = 275.684537787699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77197583-0.77216758) × cos(1.34312467) × R
    0.000191749999999935 × 0.225709878095116 × 6371000     		du = 275.736046193616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34316795)-sin(1.34312467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225667714742951-0.225709878095116)×R²
    abs(0.77216758-0.77197583)×4.21633521653919e-05×R²
    0.000191749999999935×4.21633521653919e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.21633521653919e-05×40589641000000     		ar = 76023.4957098551m²