Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20410 / 4333
↖ ↑ ↗
← N 78.671084°
E 44.230957°		 ← 239.98 m → N 78.671084°
E 44.241943°		 →
↑
240 m
↓
↑
240 m
↓
N 78.668926°
E 44.230957°		 ← 240.03 m →
57 600 m²		 N 78.668926°
E 44.241943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622879028320312 y=0.132247924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622879028320312 × 215)
    floor (0.622879028320312 × 32768)
    floor (20410.5)     		tx = 20410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132247924804688 × 215)
    floor (0.132247924804688 × 32768)
    floor (4333.5)     		ty = 4333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20410 / 4333 ti = "15/20410/4333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20410/4333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20410 ÷ 215
    20410 ÷ 32768     		x = 0.62286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4333 ÷ 215
    4333 ÷ 32768     		y = 0.132232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62286376953125 × 2 - 1) × π
    0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132232666015625 × 2 - 1) × π
    0.73553466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31075030928519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77197583} λ = 0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31075030928519))-π/2
    2×atan(10.0819864258538)-π/2
    2×1.47193288464979-π/2
    2.94386576929958-1.57079632675     		φ = 1.37306944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37306944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.671084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20410 KachelY 4333 0.77197583 1.37306944 44.230957 78.671084
    Oben rechts KachelX + 1 20411 KachelY 4333 0.77216758 1.37306944 44.241943 78.671084
    Unten links KachelX 20410 KachelY + 1 4334 0.77197583 1.37303177 44.230957 78.668926
    Unten rechts KachelX + 1 20411 KachelY + 1 4334 0.77216758 1.37303177 44.241943 78.668926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37306944-1.37303177) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dl = 239.995569999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37306944-1.37303177) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dr = 239.995569999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77197583-0.77216758) × cos(1.37306944) × R
    0.000191749999999935 × 0.196441017167284 × 6371000     		do = 239.980056881397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77197583-0.77216758) × cos(1.37303177) × R
    0.000191749999999935 × 0.196477953052181 × 6371000     		du = 240.02517920812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37306944)-sin(1.37303177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196441017167284-0.196477953052181)×R²
    abs(0.77216758-0.77197583)×3.6935884896977e-05×R²
    0.000191749999999935×3.6935884896977e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.6935884896977e-05×40589641000000     		ar = 57599.5651262671m²