Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2041 / 2402
↖ ↑ ↗
← S 29.688053°
W  0.615235°		 ← 8 490.19 m → S 29.688053°
W  0.527343°		 →
↑
8 486.87 m
↓
↑
8 486.87 m
↓
S 29.764377°
W  0.615235°		 ← 8 483.73 m →
72 027 771 m²		 S 29.764377°
W  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4984130859375 y=0.5865478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4984130859375 × 212)
    floor (0.4984130859375 × 4096)
    floor (2041.5)     		tx = 2041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5865478515625 × 212)
    floor (0.5865478515625 × 4096)
    floor (2402.5)     		ty = 2402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2041 / 2402 ti = "12/2041/2402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2041/2402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2041 ÷ 212
    2041 ÷ 4096     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2402 ÷ 212
    2402 ÷ 4096     		y = 0.58642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58642578125 × 2 - 1) × π
    -0.1728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.543029198895996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543029198895996))-π/2
    2×atan(0.580985662975984)-π/2
    2×0.526321028908811-π/2
    1.05264205781762-1.57079632675     		φ = -0.51815427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51815427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.688053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2041 KachelY 2402 -0.01073787 -0.51815427 -0.615235 -29.688053
    Oben rechts KachelX + 1 2042 KachelY 2402 -0.00920388 -0.51815427 -0.527343 -29.688053
    Unten links KachelX 2041 KachelY + 1 2403 -0.01073787 -0.51948638 -0.615235 -29.764377
    Unten rechts KachelX + 1 2042 KachelY + 1 2403 -0.00920388 -0.51948638 -0.527343 -29.764377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51815427--0.51948638) × R
    0.00133211 × 6371000     		dl = 8486.87280999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51815427--0.51948638) × R
    0.00133211 × 6371000     		dr = 8486.87280999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.00920388) × cos(-0.51815427) × R
    0.00153399 × 0.868734807526026 × 6371000     		do = 8490.18896262533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.00920388) × cos(-0.51948638) × R
    0.00153399 × 0.868074272775093 × 6371000     		du = 8483.73352328616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51815427)-sin(-0.51948638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868734807526026-0.868074272775093)×R²
    abs(-0.00920388--0.01073787)×0.000660534750933528×R²
    0.00153399×0.000660534750933528×6371000²
    0.00153399×0.000660534750933528×40589641000000     		ar = 72027771.2635731m²