Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2041 / 2023
↖ ↑ ↗
← N 79.274051°
W135.153809°		 ← 454.72 m → N 79.274051°
W135.131836°		 →
↑
454.76 m
↓
↑
454.76 m
↓
N 79.269962°
W135.153809°		 ← 454.89 m →
206 829 m²		 N 79.269962°
W135.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124603271484375 y=0.123504638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124603271484375 × 214)
    floor (0.124603271484375 × 16384)
    floor (2041.5)     		tx = 2041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123504638671875 × 214)
    floor (0.123504638671875 × 16384)
    floor (2023.5)     		ty = 2023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2041 / 2023 ti = "14/2041/2023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2041/2023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2041 ÷ 214
    2041 ÷ 16384     		x = 0.12457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2023 ÷ 214
    2023 ÷ 16384     		y = 0.12347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.7508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35887896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12347412109375 × 2 - 1) × π
    0.7530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36578187004901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35887896} λ = -2.35887896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36578187004901))-π/2
    2×atan(10.652364326971)-π/2
    2×1.47719477082946-π/2
    2.95438954165892-1.57079632675     		φ = 1.38359321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35887896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38359321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.274051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2041 KachelY 2023 -2.35887896 1.38359321 -135.153809 79.274051
    Oben rechts KachelX + 1 2042 KachelY 2023 -2.35849546 1.38359321 -135.131836 79.274051
    Unten links KachelX 2041 KachelY + 1 2024 -2.35887896 1.38352183 -135.153809 79.269962
    Unten rechts KachelX + 1 2042 KachelY + 1 2024 -2.35849546 1.38352183 -135.131836 79.269962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38359321-1.38352183) × R
    7.13799999998432e-05 × 6371000     		dl = 454.761979999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38359321-1.38352183) × R
    7.13799999998432e-05 × 6371000     		dr = 454.761979999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35887896--2.35849546) × cos(1.38359321) × R
    0.000383500000000314 × 0.186111608725673 × 6371000     		do = 454.722492200222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35887896--2.35849546) × cos(1.38352183) × R
    0.000383500000000314 × 0.186181741143653 × 6371000     		du = 454.893845229225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38359321)-sin(1.38352183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186111608725673-0.186181741143653)×R²
    abs(-2.35849546--2.35887896)×7.01324179795682e-05×R²
    0.000383500000000314×7.01324179795682e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.01324179795682e-05×40589641000000     		ar = 206829.463411831m²