Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20409 / 4331
↖ ↑ ↗
← N 78.675399°
E 44.219970°		 ← 239.89 m → N 78.675399°
E 44.230957°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
N 78.673242°
E 44.219970°		 ← 239.93 m →
57 547 m²		 N 78.673242°
E 44.230957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622848510742188 y=0.132186889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622848510742188 × 215)
    floor (0.622848510742188 × 32768)
    floor (20409.5)     		tx = 20409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132186889648438 × 215)
    floor (0.132186889648438 × 32768)
    floor (4331.5)     		ty = 4331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20409 / 4331 ti = "15/20409/4331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20409/4331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20409 ÷ 215
    20409 ÷ 32768     		x = 0.622833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4331 ÷ 215
    4331 ÷ 32768     		y = 0.132171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622833251953125 × 2 - 1) × π
    0.24566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77178408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132171630859375 × 2 - 1) × π
    0.73565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31113380448215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77178408} λ = 0.77178408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31113380448215))-π/2
    2×atan(10.0858535606904)-π/2
    2×1.47197054466161-π/2
    2.94394108932322-1.57079632675     		φ = 1.37314476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77178408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.219970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37314476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.675399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20409 KachelY 4331 0.77178408 1.37314476 44.219970 78.675399
    Oben rechts KachelX + 1 20410 KachelY 4331 0.77197583 1.37314476 44.230957 78.675399
    Unten links KachelX 20409 KachelY + 1 4332 0.77178408 1.37310711 44.219970 78.673242
    Unten rechts KachelX + 1 20410 KachelY + 1 4332 0.77197583 1.37310711 44.230957 78.673242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37314476-1.37310711) × R
    3.76499999998892e-05 × 6371000     		dl = 239.868149999294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37314476-1.37310711) × R
    3.76499999998892e-05 × 6371000     		dr = 239.868149999294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77178408-0.77197583) × cos(1.37314476) × R
    0.000191750000000046 × 0.196367164171885 × 6371000     		do = 239.889835163626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77178408-0.77197583) × cos(1.37310711) × R
    0.000191750000000046 × 0.196404081003632 × 6371000     		du = 239.934934214273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37314476)-sin(1.37310711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196367164171885-0.196404081003632)×R²
    abs(0.77197583-0.77178408)×3.69168317466695e-05×R²
    0.000191750000000046×3.69168317466695e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.69168317466695e-05×40589641000000     		ar = 57547.3398842976m²