Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20408 / 5077
↖ ↑ ↗
← N 76.947934°
E 44.208985°		 ← 275.88 m → N 76.947934°
E 44.219970°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
N 76.945452°
E 44.208985°		 ← 275.93 m →
76 129 m²		 N 76.945452°
E 44.219970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622817993164062 y=0.154953002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622817993164062 × 215)
    floor (0.622817993164062 × 32768)
    floor (20408.5)     		tx = 20408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154953002929688 × 215)
    floor (0.154953002929688 × 32768)
    floor (5077.5)     		ty = 5077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20408 / 5077 ti = "15/20408/5077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20408/5077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20408 ÷ 215
    20408 ÷ 32768     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5077 ÷ 215
    5077 ÷ 32768     		y = 0.154937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154937744140625 × 2 - 1) × π
    0.69012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1680900960159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1680900960159))-π/2
    2×atan(8.74157252293469)-π/2
    2×1.45689556223814-π/2
    2.91379112447627-1.57079632675     		φ = 1.34299480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34299480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.947934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20408 KachelY 5077 0.77159234 1.34299480 44.208985 76.947934
    Oben rechts KachelX + 1 20409 KachelY 5077 0.77178408 1.34299480 44.219970 76.947934
    Unten links KachelX 20408 KachelY + 1 5078 0.77159234 1.34295149 44.208985 76.945452
    Unten rechts KachelX + 1 20409 KachelY + 1 5078 0.77178408 1.34295149 44.219970 76.945452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34299480-1.34295149) × R
    4.33100000001296e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34299480-1.34295149) × R
    4.33100000001296e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77178408) × cos(1.34299480) × R
    0.000191739999999996 × 0.225836394839511 × 6371000     		do = 275.876215977723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77178408) × cos(1.34295149) × R
    0.000191739999999996 × 0.225878585724412 × 6371000     		du = 275.927755330729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34299480)-sin(1.34295149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225836394839511-0.225878585724412)×R²
    abs(0.77178408-0.77159234)×4.21908849008723e-05×R²
    0.000191739999999996×4.21908849008723e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.21908849008723e-05×40589641000000     		ar = 76129.0858688235m²