Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20408 / 4264
↖ ↑ ↗
← N 78.819035°
E 44.208985°		 ← 236.87 m → N 78.819035°
E 44.219970°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
N 78.816905°
E 44.208985°		 ← 236.92 m →
56 114 m²		 N 78.816905°
E 44.219970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622817993164062 y=0.130142211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622817993164062 × 215)
    floor (0.622817993164062 × 32768)
    floor (20408.5)     		tx = 20408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130142211914062 × 215)
    floor (0.130142211914062 × 32768)
    floor (4264.5)     		ty = 4264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20408 / 4264 ti = "15/20408/4264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20408/4264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20408 ÷ 215
    20408 ÷ 32768     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4264 ÷ 215
    4264 ÷ 32768     		y = 0.130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130126953125 × 2 - 1) × π
    0.73974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32398089358032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32398089358032))-π/2
    2×atan(10.216263319262)-π/2
    2×1.47322400507556-π/2
    2.94644801015113-1.57079632675     		φ = 1.37565168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37565168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.819035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20408 KachelY 4264 0.77159234 1.37565168 44.208985 78.819035
    Oben rechts KachelX + 1 20409 KachelY 4264 0.77178408 1.37565168 44.219970 78.819035
    Unten links KachelX 20408 KachelY + 1 4265 0.77159234 1.37561450 44.208985 78.816905
    Unten rechts KachelX + 1 20409 KachelY + 1 4265 0.77178408 1.37561450 44.219970 78.816905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37565168-1.37561450) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dl = 236.873780000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37565168-1.37561450) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dr = 236.873780000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77178408) × cos(1.37565168) × R
    0.000191739999999996 × 0.193908438335909 × 6371000     		do = 236.87380527074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77178408) × cos(1.37561450) × R
    0.000191739999999996 × 0.193944912511778 × 6371000     		du = 236.918361231823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37565168)-sin(1.37561450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193908438335909-0.193944912511778)×R²
    abs(0.77178408-0.77159234)×3.64741758688558e-05×R²
    0.000191739999999996×3.64741758688558e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.64741758688558e-05×40589641000000     		ar = 56114.4707128281m²