Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20407 / 5063
↖ ↑ ↗
← N 76.982624°
E 44.197998°		 ← 275.17 m → N 76.982624°
E 44.208985°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
N 76.980149°
E 44.197998°		 ← 275.22 m →
75 741 m²		 N 76.980149°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622787475585938 y=0.154525756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622787475585938 × 215)
    floor (0.622787475585938 × 32768)
    floor (20407.5)     		tx = 20407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154525756835938 × 215)
    floor (0.154525756835938 × 32768)
    floor (5063.5)     		ty = 5063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20407 / 5063 ti = "15/20407/5063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20407/5063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20407 ÷ 215
    20407 ÷ 32768     		x = 0.622772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5063 ÷ 215
    5063 ÷ 32768     		y = 0.154510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622772216796875 × 2 - 1) × π
    0.24554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77140059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154510498046875 × 2 - 1) × π
    0.69097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17077456239462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77140059} λ = 0.77140059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17077456239462))-π/2
    2×atan(8.76507050613136)-π/2
    2×1.45719829131912-π/2
    2.91439658263825-1.57079632675     		φ = 1.34360026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77140059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34360026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.982624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20407 KachelY 5063 0.77140059 1.34360026 44.197998 76.982624
    Oben rechts KachelX + 1 20408 KachelY 5063 0.77159234 1.34360026 44.208985 76.982624
    Unten links KachelX 20407 KachelY + 1 5064 0.77140059 1.34355706 44.197998 76.980149
    Unten rechts KachelX + 1 20408 KachelY + 1 5064 0.77159234 1.34355706 44.208985 76.980149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34360026-1.34355706) × R
    4.3200000000132e-05 × 6371000     		dl = 275.227200000841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34360026-1.34355706) × R
    4.3200000000132e-05 × 6371000     		dr = 275.227200000841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77140059-0.77159234) × cos(1.34360026) × R
    0.000191749999999935 × 0.225246535393113 × 6371000     		do = 275.170008562648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77140059-0.77159234) × cos(1.34355706) × R
    0.000191749999999935 × 0.225288625020696 × 6371000     		du = 275.221426903721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34360026)-sin(1.34355706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225246535393113-0.225288625020696)×R²
    abs(0.77159234-0.77140059)×4.20896275829252e-05×R²
    0.000191749999999935×4.20896275829252e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.20896275829252e-05×40589641000000     		ar = 75741.3468557404m²