Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20407 / 4334
N 78.668926°
E 44.197998°
← 240.03 m → N 78.668926°
E 44.208985°

240.06 m

240.06 m
N 78.666767°
E 44.197998°
← 240.07 m →
57 626 m²
N 78.666767°
E 44.208985°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622787475585938 y=0.132278442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622787475585938 × 215)
    floor (0.622787475585938 × 32768)
    floor (20407.5)
    tx = 20407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132278442382812 × 215)
    floor (0.132278442382812 × 32768)
    floor (4334.5)
    ty = 4334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20407 / 4334 ti = "15/20407/4334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20407/4334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20407 ÷ 215
    20407 ÷ 32768
    x = 0.622772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4334 ÷ 215
    4334 ÷ 32768
    y = 0.13226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.622772216796875 × 2 - 1) × π
    0.24554443359375 × 3.1415926535
    Λ = 0.77140059
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.13226318359375 × 2 - 1) × π
    0.7354736328125 × 3.1415926535
    Φ = 2.31055856168671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77140059} λ = 0.77140059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31055856168671))-π/2
    2×atan(10.0800534144998)-π/2
    2×1.47191404933281-π/2
    2.94382809866563-1.57079632675
    φ = 1.37303177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77140059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37303177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.668926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20407 KachelY 4334 0.77140059 1.37303177 44.197998 78.668926
    Oben rechts KachelX + 1 20408 KachelY 4334 0.77159234 1.37303177 44.208985 78.668926
    Unten links KachelX 20407 KachelY + 1 4335 0.77140059 1.37299409 44.197998 78.666767
    Unten rechts KachelX + 1 20408 KachelY + 1 4335 0.77159234 1.37299409 44.208985 78.666767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.37303177-1.37299409) × R
    3.76800000001509e-05 × 6371000
    dl = 240.059280000962m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.37303177-1.37299409) × R
    3.76800000001509e-05 × 6371000
    dr = 240.059280000962m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.77140059-0.77159234) × cos(1.37303177) × R
    0.000191749999999935 × 0.196477953052181 × 6371000
    do = 240.02517920812m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.77140059-0.77159234) × cos(1.37299409) × R
    0.000191749999999935 × 0.196514898463279 × 6371000
    du = 240.070313172425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.37303177)-sin(1.37299409))×
    abs(λ12)×abs(0.196477953052181-0.196514898463279)×
    abs(0.77159234-0.77140059)×3.69454110976386e-05×
    0.000191749999999935×3.69454110976386e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.69454110976386e-05×40589641000000
    ar = 57625.6891226293m²