Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20407 / 28738
↖ ↑ ↗
← S 79.306718°
E 44.197998°		 ← 226.68 m → S 79.306718°
E 44.208985°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
S 79.308756°
E 44.197998°		 ← 226.63 m →
51 364 m²		 S 79.308756°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622787475585938 y=0.877029418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622787475585938 × 215)
    floor (0.622787475585938 × 32768)
    floor (20407.5)     		tx = 20407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877029418945312 × 215)
    floor (0.877029418945312 × 32768)
    floor (28738.5)     		ty = 28738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20407 / 28738 ti = "15/20407/28738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20407/28738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20407 ÷ 215
    20407 ÷ 32768     		x = 0.622772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28738 ÷ 215
    28738 ÷ 32768     		y = 0.87701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622772216796875 × 2 - 1) × π
    0.24554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77140059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.7540283203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36884983162469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77140059} λ = 0.77140059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36884983162469))-π/2
    2×atan(0.0935883067090691)-π/2
    2×0.0933164942112919-π/2
    0.186632988422584-1.57079632675     		φ = -1.38416334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77140059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38416334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.306718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20407 KachelY 28738 0.77140059 -1.38416334 44.197998 -79.306718
    Oben rechts KachelX + 1 20408 KachelY 28738 0.77159234 -1.38416334 44.208985 -79.306718
    Unten links KachelX 20407 KachelY + 1 28739 0.77140059 -1.38419891 44.197998 -79.308756
    Unten rechts KachelX + 1 20408 KachelY + 1 28739 0.77159234 -1.38419891 44.208985 -79.308756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38416334--1.38419891) × R
    3.55700000000958e-05 × 6371000     		dl = 226.61647000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38416334--1.38419891) × R
    3.55700000000958e-05 × 6371000     		dr = 226.61647000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77140059-0.77159234) × cos(-1.38416334) × R
    0.000191749999999935 × 0.185551409472086 × 6371000     		do = 226.676884703845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77140059-0.77159234) × cos(-1.38419891) × R
    0.000191749999999935 × 0.185516457043486 × 6371000     		du = 226.634185445184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38416334)-sin(-1.38419891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185551409472086-0.185516457043486)×R²
    abs(0.77159234-0.77140059)×3.49524286005209e-05×R²
    0.000191749999999935×3.49524286005209e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.49524286005209e-05×40589641000000     		ar = 51363.877269763m²