Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20405 / 4973
↖ ↑ ↗
← N 77.203478°
E 44.176025°		 ← 270.58 m → N 77.203478°
E 44.187012°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
N 77.201045°
E 44.176025°		 ← 270.63 m →
73 219 m²		 N 77.201045°
E 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622726440429688 y=0.151779174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622726440429688 × 215)
    floor (0.622726440429688 × 32768)
    floor (20405.5)     		tx = 20405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151779174804688 × 215)
    floor (0.151779174804688 × 32768)
    floor (4973.5)     		ty = 4973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20405 / 4973 ti = "15/20405/4973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20405/4973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20405 ÷ 215
    20405 ÷ 32768     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4973 ÷ 215
    4973 ÷ 32768     		y = 0.151763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151763916015625 × 2 - 1) × π
    0.69647216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18803184625784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18803184625784))-π/2
    2×atan(8.91764453607315)-π/2
    2×1.45912561003784-π/2
    2.91825122007567-1.57079632675     		φ = 1.34745489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34745489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.203478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20405 KachelY 4973 0.77101709 1.34745489 44.176025 77.203478
    Oben rechts KachelX + 1 20406 KachelY 4973 0.77120884 1.34745489 44.187012 77.203478
    Unten links KachelX 20405 KachelY + 1 4974 0.77101709 1.34741242 44.176025 77.201045
    Unten rechts KachelX + 1 20406 KachelY + 1 4974 0.77120884 1.34741242 44.187012 77.201045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34745489-1.34741242) × R
    4.24700000001277e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34745489-1.34741242) × R
    4.24700000001277e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77120884) × cos(1.34745489) × R
    0.000191750000000046 × 0.221489298370468 × 6371000     		do = 270.58002034439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77120884) × cos(1.34741242) × R
    0.000191750000000046 × 0.221530713334913 × 6371000     		du = 270.630614490493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34745489)-sin(1.34741242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221489298370468-0.221530713334913)×R²
    abs(0.77120884-0.77101709)×4.14149644449857e-05×R²
    0.000191750000000046×4.14149644449857e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.14149644449857e-05×40589641000000     		ar = 73219.4045010386m²