Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20405 / 4263
↖ ↑ ↗
← N 78.821166°
E 44.176025°		 ← 236.84 m → N 78.821166°
E 44.187012°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
N 78.819035°
E 44.176025°		 ← 236.89 m →
56 107 m²		 N 78.819035°
E 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622726440429688 y=0.130111694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622726440429688 × 215)
    floor (0.622726440429688 × 32768)
    floor (20405.5)     		tx = 20405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130111694335938 × 215)
    floor (0.130111694335938 × 32768)
    floor (4263.5)     		ty = 4263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20405 / 4263 ti = "15/20405/4263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20405/4263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20405 ÷ 215
    20405 ÷ 32768     		x = 0.622711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4263 ÷ 215
    4263 ÷ 32768     		y = 0.130096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    0.24542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77101709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130096435546875 × 2 - 1) × π
    0.73980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3241726411788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77101709} λ = 0.77101709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3241726411788))-π/2
    2×atan(10.2182224510423)-π/2
    2×1.47324259406551-π/2
    2.94648518813102-1.57079632675     		φ = 1.37568886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77101709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.176025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37568886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.821166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20405 KachelY 4263 0.77101709 1.37568886 44.176025 78.821166
    Oben rechts KachelX + 1 20406 KachelY 4263 0.77120884 1.37568886 44.187012 78.821166
    Unten links KachelX 20405 KachelY + 1 4264 0.77101709 1.37565168 44.176025 78.819035
    Unten rechts KachelX + 1 20406 KachelY + 1 4264 0.77120884 1.37565168 44.187012 78.819035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37568886-1.37565168) × R
    3.7179999999859e-05 × 6371000     		dl = 236.873779999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37568886-1.37565168) × R
    3.7179999999859e-05 × 6371000     		dr = 236.873779999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77101709-0.77120884) × cos(1.37568886) × R
    0.000191750000000046 × 0.193871963891991 × 6371000     		do = 236.841600565095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77101709-0.77120884) × cos(1.37565168) × R
    0.000191750000000046 × 0.193908438335909 × 6371000     		du = 236.886159177408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37568886)-sin(1.37565168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193871963891991-0.193908438335909)×R²
    abs(0.77120884-0.77101709)×3.64744439184383e-05×R²
    0.000191750000000046×3.64744439184383e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.64744439184383e-05×40589641000000     		ar = 56106.8425769843m²